Formula risolutiva eq diff lineare di prim'ordine
ciao a tutti,
sto facendo degli esercizi sulle equazioni differenziali del prim'ordine, e non riesco a capire una cosa.
Quale è la formula risolutiva delle equazioni differenziali di questo tipo $y' = a(x)y + b(x)$??
io nelle dispense del mio prof ha questa: $y(x)=ke^(A(x))+e^(A(x))\int (b(x)e^(-A(x))) dx$ dove $A(x)=\inta(x) dx$
ma in alcuni esercizi che ho trovato su internet mi da come formula quest'altra:$y(x)=e^(A(x))\int (b(x)e^(-A(x))) dx$
in poche parole non considera la soluzione dell'equazione omogenea associata.
vi riposto un esercizio delle dispenze trovate su internet-->
Determinare la soluzione generale dell’equazione differenziale $y' = (1/sqrtx) y+1$. Determinare poi
le soluzioni $y(x)$ che soddisfano $\lim_{x \to \infty}y(x)=-infty$.
questa la soluzione:
la mia domanda è come mai? in quali casi si usa l'una o l'altra??
ciao
sto facendo degli esercizi sulle equazioni differenziali del prim'ordine, e non riesco a capire una cosa.
Quale è la formula risolutiva delle equazioni differenziali di questo tipo $y' = a(x)y + b(x)$??
io nelle dispense del mio prof ha questa: $y(x)=ke^(A(x))+e^(A(x))\int (b(x)e^(-A(x))) dx$ dove $A(x)=\inta(x) dx$
ma in alcuni esercizi che ho trovato su internet mi da come formula quest'altra:$y(x)=e^(A(x))\int (b(x)e^(-A(x))) dx$
in poche parole non considera la soluzione dell'equazione omogenea associata.
vi riposto un esercizio delle dispenze trovate su internet-->
Determinare la soluzione generale dell’equazione differenziale $y' = (1/sqrtx) y+1$. Determinare poi
le soluzioni $y(x)$ che soddisfano $\lim_{x \to \infty}y(x)=-infty$.
questa la soluzione:
la mia domanda è come mai? in quali casi si usa l'una o l'altra??
ciao
Risposte
"Ghigo":
$y(x)=ke^(A(x))+e^(A(x))\int (b(x)e^(-A(x))) dx$ dove $A(x)=\inta(x) dx$
Questa come esattamente dici tu è l'integrale generale dell'equazione completa.
"Ghigo":
ma in alcuni esercizi che ho trovato su internet mi da come formula quest'altra:$y(x)=e^(A(x))\int (b(x)e^(-A(x))) dx$
in poche parole non considera la soluzione dell'equazione omogenea associata.
Esatto, perchè come hai postato nell'esercizio successivo, sta cercando una soluzione particolare della completa (nel nostro caso quella per cui $\lim_{x \to \infty}y(x)=-infty$). Questa però rimane una soluzione particolare dell'equazione differenziale.
Nel mio libro ad esempio le chiama con lettere diverse per non far confondere: $y(t)$ la soluzione generale, $z(t)$ la soluzione dell'omogenea e $\bar y (t)$ la soluzione particolare dell'equazione differenziale.
Se tu volessi l'integrale generale dell'equazione completa a questa soluzione particolare devi sommare l'integrale generale dell'omogenea
Nell'esercizio forse all'inizio scrive la soluzione particolare per far vedere la sostituzione che usa per poter risolvere l'integrale.
Risolvendo con $y(x)=ke^(A(x))+e^(A(x))\int (b(x)e^(-A(x))) dx$ dove $A(x)=\inta(x) dx$ hai lo stesso identico risulatato:
$y(x)=k*e^(2sqrt(x))+e^(2sqrt(x)) int 1 *e^(-2sqrt(x))dx $
Ora poniamo come nell'esempio $t=2sqrt(x)$ e quindi $1/2 t dt = dx$
$y(x)=k*e^(2sqrt(x))+e^(2sqrt(x)) int e^(-t) 1/2 t dt$
$y(x)=k*e^(2sqrt(x))+e^(2sqrt(x))*1/2*(-e^(-t)*t-e^(-t))$
Ricordando che $t=2sqrt(x)$
$y(x)=k*e^(2sqrt(x))+e^(2sqrt(x))*1/2*(-e^(-2sqrt(x))*(2sqrt(x))-e^(-2sqrt(x)))$
$y(x)=k*e^(2sqrt(x))-sqrt(x)-1/2$
Spero di averti chiarito e non aver fatto più confusione XD
Riguardo al problema su come scrivere la formula la questione e' cosa significa $\int f(x)dx$. Se, come si accetta comunemente, questo simbolo
indica la famiglia delle primitive di $f$, allora le due formule che cita Ghigo sono equivalenti - la prima probabilmente sottintende che l'integrale indefinito indichi
una primitiva prefissata (anche se arbitraria) a cui si somma la costante $k$, nella seconda credo che la costante sia inglobata nell'integrale indefinito.
Io, che non sopporto gli integrali indefiniti, scrivo la soluzione di
$y'=a(x)y+b(x)$, con la condizione iniziale $y(x_0)=y_0$ mediante
$y(x)=e^{A(x)}(y_0+\int_{x_0}^xb(t)e^{-A(t)} dt)$ dove $A(x)=\int_{x_0}^xa(t) dt$
che al variare di $y_0$ mi da' tutte le soluzioni. Questo e' chiaro anche se' e' un po' piu' macchinoso.
indica la famiglia delle primitive di $f$, allora le due formule che cita Ghigo sono equivalenti - la prima probabilmente sottintende che l'integrale indefinito indichi
una primitiva prefissata (anche se arbitraria) a cui si somma la costante $k$, nella seconda credo che la costante sia inglobata nell'integrale indefinito.
Io, che non sopporto gli integrali indefiniti, scrivo la soluzione di
$y'=a(x)y+b(x)$, con la condizione iniziale $y(x_0)=y_0$ mediante
$y(x)=e^{A(x)}(y_0+\int_{x_0}^xb(t)e^{-A(t)} dt)$ dove $A(x)=\int_{x_0}^xa(t) dt$
che al variare di $y_0$ mi da' tutte le soluzioni. Questo e' chiaro anche se' e' un po' piu' macchinoso.
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