Formula ricorsiva dell'integrale x^n * cos(x) dx

[Umbreon93]

Ciao a tutti..mi piacerebbe conoscere la formula ricorsiva dell'integrale di x^n *cos(x) che non riesco a trovare da nessuna parte (ho cercato anche su questo sito) . Vi ringrazio !

[Zero87]

Penso che ci si possa provare in generale ad estrarla. Sarebbe un utile esercizio e, sarebbe ancora più interessante spostare questa discussione in "scervelliamoci un po'" in modo che in molti possano provarci.

Spoilerizzo il mio tentativo.

Ricordo la formula di integrazione per parti
$\int f'(x)g(x) dx= f(x)g(x)- \int f(x) g'(x) dx$.
Nel nostro caso la $g(x)$ da derivare sempre di più fino a scomparire è proprio il termine $x^n$.
$\int x^n cos(x) dx = sin(x)x^n - n \int sin(x)x^(n-1)dx =$
$=sin(x) x^n - n (-cos(x)x^(n-1)+ (n-1)\int x^(n-2) cos(x)dx)=$
$=sin(x) x^n +n cos(x) x^(n-1) -n(n-1) (x^(n-2) sin(x) - (n-2) \int x^(n-3) sin(x) dx)=$
$=sin(x) x^n +n cos(x) x^(n-1)-n (n-1) x^(n-2)sin(x) + n(n-1)(n-2)(-cos(x)x^(n-3)+(n-3) \int cos(x) x^(n-4)dx)=$
$=sin(x) x^n +n cos(x) x^(n-1)-n(n-1) x^(n-2) sin(x) - n(n-1)(n-2)cos(x) x^(n-3)+ n(n-1)(n-2)(n-3) \int cos(x) x^(n-4)dx$
e si ricomincia la serie. Dunque, se non erro, potrei dire
$= \sum_(i=0)^n D^i (x^n) D^i (sin(x))$
in cui con $D^i (...)$ intendo la derivata $i-$esima di ....

Per ora non mi viene in mente una forma più esplicita di questa, sperando sia giusta, ovviamente.

[ciampax]

Attenzione: la ricorsività vale per $n\ge 2$. Per quanto riguarda il trovare una forma chiusa, quello potrebbe essere un (non tanto) facile esercizio.

[Zero87]

"ciampax":Attenzione: la ricorsività vale per $n\ge 2$.

Sì, infatti, in quanto ho scritto avevo implicitamente imposto $n\ge 3$. Per il resto ci ragiono su perché più passa il tempo, più non mi convince la formula chiusa che ho trovato.

[Umbreon93]

Non vorrei linkare cose inopportune visto che penso sia spam quindi dico solo che su youtube viene mostrata una formula valida anche per n=1 (seno) .

Ve la scrivo !

$\int x^n sen(x) dx = -x^n cos(x) + n*x^(n-1)*sen(x) -n*(n-1) \int x^(n-2) * sen (x) dx =$


Vi ringrazio (in particolare zero87) . Nel video che ho visto viene lasciato per esercizio ricavare quella del coseno . Viene detto che basta cambiare qualche segno . Potrei provare eseguendo vari integrali con n sempre maggiore (come viene suggerito) e vedere cosa viene di volta in volta per ottenere una formula iterativa però so già che tornerei qui ancora più confuso . Non vorrei lanciarmi in cose di cui non ho la competenza !