Formula integrale di Cauchy

[poncelet]

Teorema:

Data una funzione $f$ olomorfa in un aperto $\Omega$ di $CC$ ed un cammino di Jordan $\Gamma$ orientato positivamente. Abbiamo che:

$\frac{1}{2pii}int_(\Gamma)\frac{f(z)}{z-z_0}dz=\{(f(z_0) if z_0 \in "int"\Gamma),(0 if z_0 \in "ext" \Gamma):}$

Dimostrazione:

Per semplicità limitiamoci a cammini che posseggano una parametrizzazione $\gamma:[a,b]->CC$ di classe $C^1$ in modo che:

$int_(\Gamma)\frac{f(z)}{z-z_0}dz=int_(\Gamma)\frac{f(\gamma(t))}{\gamma(t)-z_0}\gamma'(t)dt$

Poiché $\Omega$ è convesso, possiamo considerare

$\Phi(s,t)=\frac{f(s\gamma(t)+(1-s)z_0)}{\gamma(t)-z_0}\gamma'(t)$ con $0<=s<=1$ e $a<=t<=b$

Abbiamo che
$(del\Phi)/(del\s)=f'(s\gamma(t)+(1-s)z_0)\gamma'(t)=1/s(del)/(delt)f(s\gamma(t)+(1-s)z_0)$ con $s in ]0,1]$ e $t in [a,b]$

Siccome $\Phi$ è di classe $C^1$ ne segue che

$(del)/(dels)int_(a)^(b)\Phi(s,t)dt=1/sint_(a)^(b)(del)/(delt)f(s\gamma(t)+(1-s)z_0)dt=1/s[f(s\gamma(t)+(1-s)z_0)]_(a)^(b)=0$ (poiché il cammino è chiuso)

Abbiamo dunque che

$int_(a)^(b)\Phi(s,t)dt$ è costante in $[0,1]$.

In particolare

$int_(\Gamma)\frac{f(z)}{z-z_0}dz=int_(a)^(b)\Phi(1,t)dt=int_(a)^(b)\Phi(0,t)dt=int_(\Gamma)\frac{f(z_0)}{z-z_0}dz=f(z_0)int_(\Gamma)\frac{dz}{z-z_0}=f(z_0)2pii$

c.v.d.

Mi è tutto chiaro tranne il punto in cui si giustifica l'introduzione della funzione $\Phi$ con il fatto che $\Omega$ è convesso. Mi sfugge in generale che funzione sarebbe la $\Phi$.

[dissonance]

Quella va pensata come una famiglia di funzioni della $t$ dipendenti dal parametro $s$. Quando il parametro $s$ è uguale ad $1$ essa coincide con $frac{f(gamma(t))}{gamma(t)- z}gamma'(t)$. Quando invece è uguale a $0$ è $frac{f(z_0)}{gamma(t)- z}gamma'(t)$. Per valori intermedi della $s$ la $f$ viene valutata lungo un circuito ottenuto contraendo $Gamma$ verso $z_0$. Ad esempio, se $Gamma$ è una circonferenza di centro $z_0$ e raggio $r$, $Phi(1/2, t)$ valuta $f$ lungo la circonferenza di centro $z_0$ e raggio $r/2$. Ti serve la convessità perché così stai tranquillo che per ogni $s\in[0, 1]$ non esci dall'aperto $Omega$.