Formula integrale di Cauchy
Ciao a tutti ragazzi avrei bisogno per ricapire una cosa che non uso da un pò e non ricordo perfettamente, si tratta della formula dell'integrale di Cauchy io la devo usare per calcolare l'integrale lungo un cammino chiuso antiorario.
Riassumo l'enunciato della formula da cui partire:
Ora se dovessi risolvere il seguente problema:
$\int_\gamma 1/(z^2+4)^2 dz$ con sostegno $C={zinC:|z-i|=2}$ percorso in senso antiorario
Quindi una banale circonferenza.
Ora ho iniziato il problema studiando l'analiticità della funzione $g(z)=1/(z^2+4)^2$ è ho trovato che è analitica ovunque tranne in $z=2i$ ora non riesco a ricordare come utilizzare la formula di Cauchy per calcolarmi il risultato dell'integrale?
Qualcuno può aiutarmi? So che il mio blocco è stupido...
Grazie mille in anticipo
Riassumo l'enunciato della formula da cui partire:
Sia $f$ analitica in un aperto contentente $\Omega uuu \delta\Omega$ con $\Omega$ dominio e $\delta\Omega$ sostegno di un cammino chiuso e semplice $\gamma$ percorso in senso antiorario. Se $z_0 in \Omega$, allora:
$f(z_0)=1/(2\pii)\int_\gamma f(z)/(z-z_0)dz$
Ora se dovessi risolvere il seguente problema:
$\int_\gamma 1/(z^2+4)^2 dz$ con sostegno $C={zinC:|z-i|=2}$ percorso in senso antiorario
Quindi una banale circonferenza.
Ora ho iniziato il problema studiando l'analiticità della funzione $g(z)=1/(z^2+4)^2$ è ho trovato che è analitica ovunque tranne in $z=2i$ ora non riesco a ricordare come utilizzare la formula di Cauchy per calcolarmi il risultato dell'integrale?
Qualcuno può aiutarmi? So che il mio blocco è stupido...
Grazie mille in anticipo
Risposte
Mah, a questo punto ti conviene applicare direttamente il teorema dei residui, no...? Ti calcoli il residuo in $2i$ di $g(z)$ e sei a posto, il risultato del tuo integrale è $2pi i*$ il residuo.
"dissonance":
Mah, a questo punto ti conviene applicare direttamente il teorema dei residui, no...? Ti calcoli il residuo in $2i$ di $g(z)$ e sei a posto, il risultato del tuo integrale è $2pi i*$ il residuo.
Ma il fatto che l'integrale sia lungo il cammino antiorario è irrilevante usando il metodo dei residui?
No, non è "irrilevante"; la formula dei residui ti dice che l'integrale lungo un circuito (non cammino, attenzione: è importante che sia chiuso altrimenti va tutto a monte) è uguale alla somma $sum 2 pi i "Ind"_gamma(P)"Res"(P; f)$, dove la somma è estesa ai poli $P$ di $f$ racchiusi da $gamma$. Qui c'è solo un polo e la circonferenza si avvolge attorno ad esso una volta sola nel verso positivo (=antiorario), ecco perché la formula è diventata così semplice.
Effettivamente posso applicare tranquillamente i residui ora sono andato a rivedere la teoria e mi torna tutto magicamente.
Ho calcolato i residui in $2i$ trovando $Res=(2\pi)/32$ e quindi il risultato dell'integrale che è $\pi/16$ in quanto l'indice degli avvolgimenti è 1.
Ti ringrazio molto per avermi fatto ragionare..
Ho calcolato i residui in $2i$ trovando $Res=(2\pi)/32$ e quindi il risultato dell'integrale che è $\pi/16$ in quanto l'indice degli avvolgimenti è 1.
Ti ringrazio molto per avermi fatto ragionare..
Pongo un altro quesito se avessi un esercizio del genere:
$int_C(e^(z+1))/(z-2)^24dz$ dove $C={z: z=|4|}$ in senso antiorario.
Ho provato nel calcolo dei residui che mi risulta alquanto complicato, forse non seguo la strada giusta oppure è questo un caso in cui applicare la formula di cui sopra?
$int_C(e^(z+1))/(z-2)^24dz$ dove $C={z: z=|4|}$ in senso antiorario.
Ho provato nel calcolo dei residui che mi risulta alquanto complicato, forse non seguo la strada giusta oppure è questo un caso in cui applicare la formula di cui sopra?
Sì, questo esercizio è evidentemente fatto apposta per mandarti in crisi se stai cercando di applicare i residui. Mentre è immediato applicando la formula di Cauchy come pensi di fare tu, solo che devi ricordartene la versione generale (*)
[tex]\displaymath f^{(n)}( z ) = \frac{n!}{2 \pi \imath} \int_C \frac{ f( \zeta)\,d \zeta}{(\zeta - z )^{n + 1} }[/tex]
e applicarla con [tex]f( \zeta) = \exp ( \zeta + 1), n=23[/tex].
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(*) Non è difficile: basta derivare la formula del tuo primo post sotto il segno di integrale.
[tex]\displaymath f^{(n)}( z ) = \frac{n!}{2 \pi \imath} \int_C \frac{ f( \zeta)\,d \zeta}{(\zeta - z )^{n + 1} }[/tex]
e applicarla con [tex]f( \zeta) = \exp ( \zeta + 1), n=23[/tex].
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(*) Non è difficile: basta derivare la formula del tuo primo post sotto il segno di integrale.
"dissonance":
Sì, questo esercizio è evidentemente fatto apposta per mandarti in crisi se stai cercando di applicare i residui. Mentre è immediato applicando la formula di Cauchy come pensi di fare tu, solo che devi ricordartene la versione generale (*)
[tex]\displaymath f^{(n)}( z ) = \frac{n!}{2 \pi \imath} \int_C \frac{ f( \zeta)\,d \zeta}{(\zeta - z )^{n + 1} }[/tex]
e applicarla con [tex]f( \zeta) = \exp ( \zeta + 1), n=23[/tex].
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(*) Non è difficile: basta derivare la formula del tuo primo post sotto il segno di integrale.
Ti ringrazio ma nella tua formula z sarebbe la mia singolarità cioè z=2, perchè non riesco a capire algebramente come venirne a capo... forse sono andato nel pallone!
uh che fesso, ho scambiato i tuoi $zeta$ e $z$. Comunque è $z=2$. Sostanzialmente devi calcolare la derivata ventitreesima di $"exp"(\zeta + 1)$, valutarla per $\zeta=z=2$, e dividere per $\frac{(23)!}{2 pi i}$. Chiaro ora?
Credo di aver capito: siccome la derivata 23esima di $e^(z+1)$ è $e^(z+1)$ calcolata in $z=2$ ottengo $e^3$
Quindi il mio risultato è $(e^3 2\pi i)/(23!)$
Quindi il mio risultato è $(e^3 2\pi i)/(23!)$
Giusto.
"dissonance":
Giusto.
Ti ringrazio ancora una volta dissonance!
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