Formula generale per la derivata di $\frac{1+x}{1-x}$

[n.cavallini1]

Buonasera a tutti,
Ho la funzione $f(x)=\frac{1+x}{1-x}$
Mi si chiede di trovare e dimostrare per induzione una formula generale per la derivata $n$-esima $f^{(n)}(x)$.
Calcolando ho trovato:
$f'(x)=\frac{2}{(1-x)^2}$
$f''(x)=\frac{4}{(1-x)^3}$
$f'''(x)=\frac{12}{(1-x)^4}$
$f^{(4)}(x)=\frac{48}{(1-x)^5}$

Perciò ipotizzo $f^{(n)}(x) =\frac{\square}{(1-x)^{n+1}} $
dove $\square$ è la formula esplicita della progressione $2,4,12,48,\ldots$ che non riesco a trovare. Qualcuno riesce per favore a trovare una formula per $\square$?
Grazie a tutti. NC

[axpgn]

$n!*2$

[n.cavallini1]

Grazie mille!!
Mi ero proprio perso in un bicchier d'acqua

[gugo82]

Beh, d'altra parte c'è poco da ipotizzare…

Infatti, $f(x) = 2/(1-x) -1=2(1-x)^(-1) - 1$, da cui segue $f^((n))(x) = 2n!(1-x)^(-n-1)$ per noti fatti sulla derivazione delle potenze.

[dissonance]

Comunque mi è piaciuto lo svolgimento di n.cavallini, anche se non è il più diretto possibile.