Formula generale di una derivata

[daenerys1]

Siccome sono una schiappa assurda su queste cose, mi aiutereste a trovare una formula generale per la derivata (esempio derivata di ordine s) per questa funzione?

$ f(x) = x ^(-5/2)$

allora studiando le prime 3 derivate ottengo:
$ f'(x) = - 5/2 x^(-7/2)$
$ f''(x)= 35/4 x^(-9/2)$
$ f'''(x) = 225/8 x^(-11/2)$

quindi per un certo ordine s ho:
$ f^(s) (x) = (-1)^(s) x^(-(5+2s)/2) ((??)/2^s)$

ora dove ho messo i ?? non riesco a ricavarmelo..

[pilloeffe]

Ciao danaerys,

La cosa più semplice mi pare quella di trovarsi la derivata di indice $s$ di $x^{alpha}$ e poi magari successivamente porre $alpha := -5/2 $...

[daenerys1]

Provo immediatamente

[pilloeffe]

Ciao daenerys,

Riguardando il tuo OP, mi sono accorto che tutto sommato eri quasi arrivato a dama...
Infatti mi risulta:

$f^{(s)}(x) = (- 1)^s x^{-(5+2s)/2} frac{(2s + 3)!!}{3 \cdot 2^s} $

Vediamo se torna tutto:

$f^{(0)}(x) = x^{- 5/2} frac{3 !!}{3 \cdot 2^0} = frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2^0} x^{- 5/2} = x^{- 5/2} = f(x) $

$f^{(1)}(x) = - x^{- 7/2} frac{5 !!}{3 \cdot 2^1} = - frac{5 \cdot 3 \cdot 1}{3 \cdot 2^1} x^{- 7/2} = - frac{5}{2} x^{- 7/2} = f'(x) $

$f^{(2)}(x) = x^{- 9/2} frac{7 !!}{3 \cdot 2^2} = frac{7 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 1}{3 \cdot 2^2} x^{- 9/2} = frac{35}{4} x^{- 9/2} = f''(x) $

$f^{(3)}(x) = - x^{- 11/2} frac{9 !!}{3 \cdot 2^3} = - frac{9 \cdot 7 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 1}{3 \cdot 2^3} x^{- 11/2} = - frac{315}{8} x^{- 11/2} = f'''(x) $

Direi che ci siamo, considerato che hai sbagliato la derivata terza...