Formula Fondamentale del calcolo integrale

[unfabbioacaso]

Salve a tutti,
ho un dubbio riguardo la formula fondamentale del calcolo integrale:

http://it.wikipedia.org/wiki/Integrale#Formula_fondamentale_del_calcolo_integrale

Dato che il Criterio d'Integrabilità secondo Riemann afferma che:

Una funzione f(x) limitata in [a,b] è ivi integrabile secondo Riemann se e solo se, per ogni epsilon>0 esiste una partizione P di [a,b] tale che S(P)-s(P)
Per quale motivo c'è bisogno che la funzione sia anche continua per poter dimostrare la formula fondamentale del calcolo integrale e non basta la semplice limitatezza?
Grazie a tutti anticipatamente e scusatemi per l'ignoranza...

[dissonance]

Nessuno "scusatemi" e nessuna "ignoranza": è una domanda perfettamente naturale. Quella dimostrazione fa uso di questo teorema:

Teorema Sia $f:[a, b] \to RR$ una funzione continua. Allora la funzione $F(x)=int_a^x f(t)dt$ è una primitiva di $f$, ovvero $F$ è derivabile e per ogni $x\in[a, b]$ risulta che

$F'(x)=f(x)$.

Questo teorema vuole proprio la continuità di $f$, senza non funziona. Pensa ad esempio ad una funzione che fa un salto, come la funzione segno

$"sign"(x)={(1, x>0), (0, x=0), (-1, x<0):}$

(fatti un disegno). Prendi la funzione integrale $int_0^x "sign"(t)dt$: essa è uguale a $|x|$, come puoi verificare rapidamente (altra cosa che ti consiglio di fare). Quindi come vedi la funzione integrale non è derivabile e il teorema di sopra è fallito.

Però, come l'articolo stesso di Wikipedia afferma, si può costruire una dimostrazione alternativa della formula senza usare questo teorema. Quindi, strettamente parlando, la continuità di $f$ non è necessaria.

P.S.: E' sconsigliato studiare questi argomenti per la prima volta da Wikipedia. Fioravante Patrone ha rinvenuto (e corretto) numerosi strafalcioni gravissimi che possono mettere seriamente a repentaglio la tua comprensione dell'argomento. Meglio leggere un buon libro di analisi.

[unfabbioacaso]

Mi era proprio sfuggito che il Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale richiedesse una funzione continua per poter affermare che F'(x)=f(x).
Quindi, vediamo se ho ben capito, nella Formula Fondamentale del C.I. ho bisogno di una primitiva.
Per poter usare il Teorema Fondamentale del C.I. ho bisogno di una funzione continua in [a,b](visto che per dimostrarlo si fa uso del teorema della media, il quale, a sua volta, implica l'utilizzo del Teorema di Weierstrass).
Spero di non aver fatto troppa confusione...

"dissonance":
Però, come l'articolo stesso di Wikipedia afferma, si può costruire una dimostrazione alternativa della formula senza usare questo teorema. Quindi, strettamente parlando, la continuità di non è necessaria.

Se dunque non ho fatto alcun errore nelle mie elucubrazioni, non ho fatto una gran cavolata nel chiedermi perchè si richiedesse una funzione continua e non semplicemente limitata?

"dissonance":
P.S.: E' sconsigliato studiare questi argomenti per la prima volta da Wikipedia. Fioravante Patrone ha rinvenuto (e corretto) numerosi strafalcioni gravissimi che possono mettere seriamente a repentaglio la tua comprensione dell'argomento. Meglio leggere un buon libro di analisi.

So che Wikipedia, anche se molto utile, non è sempre affidabile, per cui sto studiando Analisi I dal libro di Marcellini-Sbordone, ma ho usato Wikipedia per riportare velocemente le formule, in quanto non sono ancora molto pratico dell script per scrivere le formule sul forum.
In ogni caso, grazie per il consiglio!!

[dissonance]

Allora, la storia va così. Chiamiamo Teorema fondamentale del calcolo integrale il Teorema del mio post precedente e Formula fondamentale (...) la formula $int_a^bf(t)dt=F(b)-F(a)$. Il primo teorema riguarda solo le funzioni continue, senza continuità fallisce e amen (ci sono delle versioni più generali che però rientrano in una teoria più ampia e complessa). La seconda invece richiede che $f$ sia Riemann integrabile (così che abbia senso parlare di $int_a^bf(t)dt$), che $F$ sia derivabile ovunque e che $F'(x)=f(x)$ per ogni $x \in [a, b]$. Come vedi non è obbligatorio che $f$ sia continua.

Naturalmente, osserva che, pur non essendo continua, $f$ è la derivata di una funzione $F$. Nei casi concreti è molto difficile trovare funzioni derivabili con la derivata non continua (funzioni che, comunque, esistono: l'esempio classico è

$F(x)={(x^2sin(1/x), xne0), (0, x=0):}$)


perciò nel concreto vanno bene tutte e due le formulazioni.

[unfabbioacaso]

La cosa bella della matematica è che molto spesso si riesce a capire un teorema solo vedendo cosa succederebbe se non fosse così, solo che purtroppo, da "principiante", ancora non riesco a trovarmi tutte le "eccezioni" alle varie regole.
Quindi mi hai liberato da un bel pò di "pensieri" che avevo in mente...Grazie mille!