Formula di Taylor resto di Lagrange: dimostrazione???

[DeltaEpsilon]

Non capisco cosa otteniamo dopo tutti questi passaggi

Sia \(\displaystyle f:A\rightarrow R \in C^2 \) e sia \(\displaystyle (x,y) \in A \) e siano \(\displaystyle h,k \in \mathbb{R} \) tali che \(\displaystyle (x+th, y+tk) \in A \: \forall \: t \in [0,1] \)

Esiste un intorno circolare di \(\displaystyle (x,y) \) contenuto in \(\displaystyle A \)

$\sqrt{(x+th-x)^2+(y+tk-y)^2} = \sqrt{t^2h^2+t^2k^2} = \sqrt{t^2(h^2+k^2)} = t\sqrt{h^2+k^2} < \delta $

Ma essendo $t\leq 1$ segue che $t\sqrt{h^2+k^2} \leq \sqrt{h^2+k^2} < \delta $

Dunque ha senso considerare la funzione composta $F(t) = f(x+th, y+tk)$ che è derivabile perchè $x(t)$ e $y(t)$ sono evidentemente derivabili e $f$ è differenziabile essendo di classe $C^2$

$F'(t) = f_x(x+th, y+tk)h + f_y(x+th, y+tk)k$

$F''(t) = f_{x x}(x+th, y+tk)h^2 + f_{xy}(x+th, y+tk)hk + f_{yx}(x+th, y+tk)hk + f_{yy}(x+th, y+tk)k^2$

Per Schwarz le derivate miste coincidono dunque

$F''(t) = f_{x x}(x+th, y+tk)h^2 + 2f_{xy}(x+th, y+tk)hk + f_{yy}(x+th, y+tk)k^2$

$\exists \theta \in (0,1) : F(1) - F(0) = F'(0) + \frac{F''(\theta)}{2}$

cioè $F(1) = F(0) + F'(0) + \frac{F''(\theta)}{2}$

ovvero

$f(x+h, y+k) = $

$f(x,y) + f_x(x,y)h + f_y(x,y)k + $

$\frac{f_{x x}(x+\theta h, y+\theta k)h^2 + 2f_{xy}(x+\theta h, y+\theta k)hk + f_{yy}(x+\theta h, y+\theta k)k^2}{2}$



Qual è la conclusione? Cosa ho dimostrato? Cosa ho concluso?

Grazie in anticipo.

[gugo82]

Credo tu l'abbia scritto nel titolo del thread cosa hai dimostrato, no?


P.S.: Se stai usando un libro, buttalo; se stai usando degli appunti, buttali.
Poi vai a comprarti un testo decente da cui studiare.

[DeltaEpsilon]

Quello che non capisco è la parte in cui entra in gioco Lagrange.

Prima cosa, a quale funzione lo si sta applicando? $F$? $F'$? $F''$?

Supponiamo a $F(t)$

Se esiste $\theta \in (0,1)$ allora dovrebbe valere $F'(\theta ) = F(1)-F(0)$

invece nella dimostrazione compare

$F(1)-F(0) = F'(0) + \frac{F''(\theta )}{2}$

Cosa mi sfugge?

[gugo82]

La formula è al secondo ordine.

[DeltaEpsilon]

"gugo82":La formula è al secondo ordine.

Se esiste $θ∈(0,1)$ allora $F''(θ)= F'(1)-F'(0)$

che ancora non mi da

$ F(1)-F(0) = F'(0) + \frac{F''(\theta )}{2} $

[dissonance]

Ma no, che casino, la formula che stai applicando è questa qui;
\[
g(x+h)=g(x)+g'(x)h+\frac12 g''(x+\theta h) h^2, \]
per un \(\theta \in (0, 1)\).