Formula di Taylor per funzioni di due variabili
Ciao a tutti, ho alcuni problemi nel capire la risoluzione di alcuni esercizi sullo sviluppo di taylor pubblicati sul sito dell'università che frequento.
Conosco e non ho dubbi sulla procedura con l'approccio "classico", ovvero con il calcolo delle derivate parziali ecc...
Alcuni esercizi mi sono stati presentati così però :
Scrivere la formula di Taylor arrestata all'ordine 2 con il resto di peano e centro nel punto P indicato:
es 1)
$f(x,y)=log(3x^2+y) ; P(0,1)$
soluzione proposta es 1
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Il primo passaggio è abbastanza chiaro, viene appunto applicato lo sviluppo di McLaurin di log(1+t), ma nel secondo passaggio non capisco che operazione venga fatta. dove finisce il $3x^2$ ? qualcuno mi può aiutare a schiarirmi le idee?
Grazie per qualsiasi tipo di aiuto
P.s. ma lo sviluppo di McLaurin non dovrebbe essere centrato in $(0,0)$? ho le idee un po' confuse...
P.s.2 se dovesse servire ho altri esercizi simili
Conosco e non ho dubbi sulla procedura con l'approccio "classico", ovvero con il calcolo delle derivate parziali ecc...
Alcuni esercizi mi sono stati presentati così però :
Scrivere la formula di Taylor arrestata all'ordine 2 con il resto di peano e centro nel punto P indicato:
es 1)
$f(x,y)=log(3x^2+y) ; P(0,1)$
soluzione proposta es 1
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Il primo passaggio è abbastanza chiaro, viene appunto applicato lo sviluppo di McLaurin di log(1+t), ma nel secondo passaggio non capisco che operazione venga fatta. dove finisce il $3x^2$ ? qualcuno mi può aiutare a schiarirmi le idee?
Grazie per qualsiasi tipo di aiuto
P.s. ma lo sviluppo di McLaurin non dovrebbe essere centrato in $(0,0)$? ho le idee un po' confuse...
P.s.2 se dovesse servire ho altri esercizi simili
Risposte
lo sviluppo di Mc Laurin è un caso particolare dello sviluppo di Taylor, ovvero quello centrato in $(0,0)$. Siccome tu hai $P=(0,1)$ devi effettuare una traslazione per arrivare al risultato giusto quindi al posto di $y$ trovi scritto $(y-1)$.
Avevo immaginato qualcosa di simile, ma continua a essermi oscuro come arrivare a quel risultato senza calcolare le derivate.
Nel risultato dell'esercizio, sembra che nella prima parte:
$log(1+t)=t-1/2t^2+1/3t^3...$
$(3x^2+y-1)-1/2(3x^2+y-1)^2 +...=$
Fin qui tutto chiaro ha utilizzato $t=3x^2+y-1$ , nell'ultimo passaggio riscrive la prima parte semplicemente modificando le parentesi, mentre
il $-1/2(3x^2+y-1)^2$ diventa $-1/2(y-1)^2$ dove finisce il $3x^2$ ?
nell'ultima parte poi viene applicato il resto di Peano con l' $o(x^2+(y-1)^2)$ che rispecchia quello della formula standard.
So che è noioso ma potresti mostrarmi i passaggi per arrivare dalla prima alla seconda parte della soluzione? Non riesco proprio a capire...
Grazie!!
Nel risultato dell'esercizio, sembra che nella prima parte:
$log(1+t)=t-1/2t^2+1/3t^3...$
$(3x^2+y-1)-1/2(3x^2+y-1)^2 +...=$
Fin qui tutto chiaro ha utilizzato $t=3x^2+y-1$ , nell'ultimo passaggio riscrive la prima parte semplicemente modificando le parentesi, mentre
il $-1/2(3x^2+y-1)^2$ diventa $-1/2(y-1)^2$ dove finisce il $3x^2$ ?
nell'ultima parte poi viene applicato il resto di Peano con l' $o(x^2+(y-1)^2)$ che rispecchia quello della formula standard.
So che è noioso ma potresti mostrarmi i passaggi per arrivare dalla prima alla seconda parte della soluzione? Non riesco proprio a capire...
Grazie!!
Nessuno mi sa aiutare?
Nei testi di esame vengono richiesti anche sviluppi arrestati al 6 ordine..se la funzione è appena appena complessa ci divento vecchio a calcolarmi tutte le derivate.
Grazie
Nei testi di esame vengono richiesti anche sviluppi arrestati al 6 ordine..se la funzione è appena appena complessa ci divento vecchio a calcolarmi tutte le derivate.
Grazie
Gli addendi [tex]$9x^4$[/tex] e [tex]$6x^2(y-1)$[/tex] sono infinitesimi d'ordine superiore a $x^2+(y-1)^2$ in $(0,1)$ e, come tali, vengono inglobati nell'[tex]$\text{o} (x^2+(y-1)^2)$[/tex].
Grazie mille, ad essere sincero ci avevo pensato, ma sembrava troppo semplice. Spesso la cosa più semplice è anche quella giusta, me ne dimentico spesso!
Un'ultima domanda: Come metodo, non so perchè, ma non mi sembra "molto formale", mi consigli di usarlo ogni volta sia possibile oppure con "moderazione" (sembra una medicina) perchè potrebbe portare a risultati errati? Al momento non vedo problemi che possano derivare dalla sua applicazione, ma ho la sensazione ( si può parlare di sensazione in matematica?) che sotto ci sia il trucco.
Grazie ancora!
Un'ultima domanda: Come metodo, non so perchè, ma non mi sembra "molto formale", mi consigli di usarlo ogni volta sia possibile oppure con "moderazione" (sembra una medicina) perchè potrebbe portare a risultati errati? Al momento non vedo problemi che possano derivare dalla sua applicazione, ma ho la sensazione ( si può parlare di sensazione in matematica?) che sotto ci sia il trucco.
Grazie ancora!
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