Formula di Taylor in forma locale
Ho un problema nella comprensione di una dimostrazione proposta dal testo che sto seguendo: V. Zorich - Mathematical Analysis I.
Il teorema in questione è quello che legittima la formula di Taylor in forma locale, ed è il seguente:
Se una funzione \(\displaystyle \phi:E\to\mathbb{R} \), definita su un intervallo chiuso \(\displaystyle E \) dove \(\displaystyle x_0 \) è uno dei due estremi, ammette derivate in \(\displaystyle x_0 \) fino all'ordine \(\displaystyle n \) (incluso) e risulta che \(\displaystyle \phi (x_0)=\phi'(x_0)=...=\phi^{(n)}(x_0)=0 \), allora \(\displaystyle \phi (x)=\mathcal{o}\left( (x-x_0)^n\right) \) per \(\displaystyle E\ni x \to x_0 \).
La dimostrazione che il testo propone è per induzione e la riassumo io di seguito.
Sia $$\mathcal{A}=\{ n\in\mathbb{N} | \phi (x_0)=\phi '(x_0)=...=\phi ^{(n)}(x_0)=0 \Rightarrow \phi (x)=\mathcal{o}\left( (x-x_0)^n\right) \; \text{per} \; E\ni x \to x_0 \} $$
e occorre dimostrare che \(\displaystyle \mathcal{A}=\mathbb{N} \).
\(\displaystyle \phi (x_0)=\phi '(x_0)=0 \Rightarrow \phi(x)=\phi(x)-\phi(x_0)=\phi '(x_0)(x-x_0)+\mathcal{o}(x-x_0)=\mathcal{o}(x-x_0) \Rightarrow 1\in\mathcal{A} \).
Poi:
se \(\displaystyle n\in\mathcal{A} \) allora \(\displaystyle \phi (x_0)=\phi'(x_0)=...=\phi^{(n)}(x_0)=0 \Rightarrow \phi (x)=\mathcal{o}\left( (x-x_0)^n\right) \; \text{per}\; E\ni x\to x_0 \). Devo verificare che in questa situazione anche \(\displaystyle n+1 \in \mathcal{A} \).
Siccome per ipotesi siamo nel caso in cui \(\displaystyle \phi (x_0)=\phi '(x_0)=...=\phi ^{(n)}(x_0)=\phi ^{(n+1)}(x_0)=0 \) allora esiste almeno \(\displaystyle \phi ^{(2)}(x_0) \), dunque \(\displaystyle x_0 \) deve essere ancora di accumulazione anche per \(\displaystyle E' \), dove ho indicato con \(\displaystyle E'\subset E \) l'insieme dei punti di \(\displaystyle E \) in cui \(\displaystyle \phi '(x) \) esiste.
Dunque ha senso poter affermare che per ipotesi induttiva:
\(\displaystyle \phi '(x)=\mathcal{o}\left( (x-x_0)^n\right) \; \text{per} \; E'\ni x \to x_0 \)
A questo punto per concludere il testo utilizza il teorema di Lagrange su \(\displaystyle \phi '(x) \), affermando che \(\displaystyle \exists \xi \) tra \(\displaystyle x \) e \(\displaystyle x_0 \) tale che:
\(\displaystyle \phi (x) = \phi (x) -\phi (x_0)=\phi (\xi )(x-x_0) \)
che secondo me non va bene in quanto non si sa se \(\displaystyle \phi '(x) \) sia effettivamente ancora definita su un intervallo chiuso, quindi tantomeno non si può sapere se sono verificate le ipotesi di continuità e derivabilità richieste per l'applicazione del teorema di Lagrange.
Mi sono perso qualcosa o si devono veramente allargare un pò le ipotesi iniziali?
Il teorema in questione è quello che legittima la formula di Taylor in forma locale, ed è il seguente:
Se una funzione \(\displaystyle \phi:E\to\mathbb{R} \), definita su un intervallo chiuso \(\displaystyle E \) dove \(\displaystyle x_0 \) è uno dei due estremi, ammette derivate in \(\displaystyle x_0 \) fino all'ordine \(\displaystyle n \) (incluso) e risulta che \(\displaystyle \phi (x_0)=\phi'(x_0)=...=\phi^{(n)}(x_0)=0 \), allora \(\displaystyle \phi (x)=\mathcal{o}\left( (x-x_0)^n\right) \) per \(\displaystyle E\ni x \to x_0 \).
La dimostrazione che il testo propone è per induzione e la riassumo io di seguito.
Sia $$\mathcal{A}=\{ n\in\mathbb{N} | \phi (x_0)=\phi '(x_0)=...=\phi ^{(n)}(x_0)=0 \Rightarrow \phi (x)=\mathcal{o}\left( (x-x_0)^n\right) \; \text{per} \; E\ni x \to x_0 \} $$
e occorre dimostrare che \(\displaystyle \mathcal{A}=\mathbb{N} \).
\(\displaystyle \phi (x_0)=\phi '(x_0)=0 \Rightarrow \phi(x)=\phi(x)-\phi(x_0)=\phi '(x_0)(x-x_0)+\mathcal{o}(x-x_0)=\mathcal{o}(x-x_0) \Rightarrow 1\in\mathcal{A} \).
Poi:
se \(\displaystyle n\in\mathcal{A} \) allora \(\displaystyle \phi (x_0)=\phi'(x_0)=...=\phi^{(n)}(x_0)=0 \Rightarrow \phi (x)=\mathcal{o}\left( (x-x_0)^n\right) \; \text{per}\; E\ni x\to x_0 \). Devo verificare che in questa situazione anche \(\displaystyle n+1 \in \mathcal{A} \).
Siccome per ipotesi siamo nel caso in cui \(\displaystyle \phi (x_0)=\phi '(x_0)=...=\phi ^{(n)}(x_0)=\phi ^{(n+1)}(x_0)=0 \) allora esiste almeno \(\displaystyle \phi ^{(2)}(x_0) \), dunque \(\displaystyle x_0 \) deve essere ancora di accumulazione anche per \(\displaystyle E' \), dove ho indicato con \(\displaystyle E'\subset E \) l'insieme dei punti di \(\displaystyle E \) in cui \(\displaystyle \phi '(x) \) esiste.
Dunque ha senso poter affermare che per ipotesi induttiva:
\(\displaystyle \phi '(x)=\mathcal{o}\left( (x-x_0)^n\right) \; \text{per} \; E'\ni x \to x_0 \)
A questo punto per concludere il testo utilizza il teorema di Lagrange su \(\displaystyle \phi '(x) \), affermando che \(\displaystyle \exists \xi \) tra \(\displaystyle x \) e \(\displaystyle x_0 \) tale che:
\(\displaystyle \phi (x) = \phi (x) -\phi (x_0)=\phi (\xi )(x-x_0) \)
che secondo me non va bene in quanto non si sa se \(\displaystyle \phi '(x) \) sia effettivamente ancora definita su un intervallo chiuso, quindi tantomeno non si può sapere se sono verificate le ipotesi di continuità e derivabilità richieste per l'applicazione del teorema di Lagrange.
Mi sono perso qualcosa o si devono veramente allargare un pò le ipotesi iniziali?
Risposte
Ancora col libro che definiva a casaccio gli intervalli?
Cambialo.
Cambialo.
Si, ancora lui.
Per ora questo ho a disposizione purtroppo, magari andró a vedere online se l’enuciato di questo teorema è effettivamente quello riportato o è differente.
Nel frattempo ti chiedo, per favore, se puoi dirmi se il modo in cui ho ragionato io è corretto o sbaglio anche io.
Grazie in ogni caso.
PS: prima di fare acquisti sbagliati e spendere soldi inutilmente, il libro che mi consigliavi ero andato a cercarlo. Potresti dare un’occhiata agli MP? Ti farà perdere poco tempo, promesso.
Grazie ancora.
Per ora questo ho a disposizione purtroppo, magari andró a vedere online se l’enuciato di questo teorema è effettivamente quello riportato o è differente.
Nel frattempo ti chiedo, per favore, se puoi dirmi se il modo in cui ho ragionato io è corretto o sbaglio anche io.
Grazie in ogni caso.
PS: prima di fare acquisti sbagliati e spendere soldi inutilmente, il libro che mi consigliavi ero andato a cercarlo. Potresti dare un’occhiata agli MP? Ti farà perdere poco tempo, promesso.
Grazie ancora.
Sono andato a cercare nei riferimenti che mi hai dato.
Ho trovato un teorema analogo sul Pagani-Salsa, il quale però lo dimostra facendo uso di de l'Hôpital. Io stavo cercando di farlo senza.
Ad ogni modo, anche facendo uso di tale teorema vedo qualcosa che non va (problema mio sicuramente). In particolare una delle ipotesi per la validità di de l'Hôpital è la differenziabilità della funzione in un intero intervallo aperto, cosa non contemplata affatto nell'enunciato in [1] (e nemmeno nell'enunciato del Pagani-Salsa).
In altre parole, lo stesso problema che riscontravo io sotto altre forme.
Ho trovato un teorema analogo sul Pagani-Salsa, il quale però lo dimostra facendo uso di de l'Hôpital. Io stavo cercando di farlo senza.
Ad ogni modo, anche facendo uso di tale teorema vedo qualcosa che non va (problema mio sicuramente). In particolare una delle ipotesi per la validità di de l'Hôpital è la differenziabilità della funzione in un intero intervallo aperto, cosa non contemplata affatto nell'enunciato in [1] (e nemmeno nell'enunciato del Pagani-Salsa).
In altre parole, lo stesso problema che riscontravo io sotto altre forme.
Qual è l'enunciato che si trova nel Pagani-Salsa?
È nel capitolo sulle funzioni differenziabili, paragrafo ‘Formula di Taylor’. La pagina non so dirtela al momento perché non sono a casa.
Ad ogni modo, anche nell’enunciato proposto dal Pagani-Salsa si legge come ipotesi la differenziabilità della funzione in questione (n volte) solo in un punto, e non in un intero intervallo.
Ciò fa sorgere dunque la mia obiezione in [1].
Se non riesci a trovarlo, appena torno a casa ti dico anche la pagina.
Ad ogni modo, anche nell’enunciato proposto dal Pagani-Salsa si legge come ipotesi la differenziabilità della funzione in questione (n volte) solo in un punto, e non in un intero intervallo.
Ciò fa sorgere dunque la mia obiezione in [1].
Se non riesci a trovarlo, appena torno a casa ti dico anche la pagina.
Dire che una funzione è derivabile $n$ volte in un punto implica che la tale funzione è derivabile $n-1$ volte intorno a tale punto.
Infatti la derivata $f^((n))(x_0)$ è il limite del rapporto incrementale di $f^((n-1))(x)$ in $x_0$ e dunque non avrebbe alcun senso se $f$ non fosse derivabile $n-1$ volte (almeno) intorno ad $x_0$.
Infatti la derivata $f^((n))(x_0)$ è il limite del rapporto incrementale di $f^((n-1))(x)$ in $x_0$ e dunque non avrebbe alcun senso se $f$ non fosse derivabile $n-1$ volte (almeno) intorno ad $x_0$.
Senza dubbio, infatti non è quello il problema.
In [1] ho portato avanti autonomamente la dimostrazione passo dopo passo proprio per questo motivo: una cosa è dire che la derivata (n-1)esima esiste in un intorno di \(\displaystyle x_0 \) contenente punti del dominio della funzione originale, un'altra è affermare che esiste in un intero intervallo aperto della forma \(\displaystyle (a,b) \).
Esempio: una cosa è dire che \(\displaystyle f \) è derivabile in tutti i punti della forma \(\displaystyle \left\{ \pm \frac{1}{n}\right\}_{n\in \mathbb{N}} \), altra è dire che è derivabile in \(\displaystyle (-1, 1) \).
La mia obiezione nasce, in [1], nel momento in cui si utilizza il teorema di Lagrange, il quale prevede appunto l'esistenza della derivata in un intero intervallo.
In [1] ho portato avanti autonomamente la dimostrazione passo dopo passo proprio per questo motivo: una cosa è dire che la derivata (n-1)esima esiste in un intorno di \(\displaystyle x_0 \) contenente punti del dominio della funzione originale, un'altra è affermare che esiste in un intero intervallo aperto della forma \(\displaystyle (a,b) \).
Esempio: una cosa è dire che \(\displaystyle f \) è derivabile in tutti i punti della forma \(\displaystyle \left\{ \pm \frac{1}{n}\right\}_{n\in \mathbb{N}} \), altra è dire che è derivabile in \(\displaystyle (-1, 1) \).
La mia obiezione nasce, in [1], nel momento in cui si utilizza il teorema di Lagrange, il quale prevede appunto l'esistenza della derivata in un intero intervallo.
Ah, vabbè, ti manca un’ipotesi... Aggiungicela.
Non avevo capito il punto “per abitudine”: di solito, quando enuncio il teorema, specifico sempre che $f$ è derivabile $n-1$ volte in $]a,b[$ ed $n$ volte in $x_0$.
Quindi non mi ero posto il problema che un testo potesse aver saltato quell’ipotesi.
Inoltre, leggi bene il testo: può darsi che nell’uso della locuzione “derivabile $n$ volte in $x_0$” sia implicita l’ipotesi di derivabilità $n-1$ volte dappertutto.
Non avevo capito il punto “per abitudine”: di solito, quando enuncio il teorema, specifico sempre che $f$ è derivabile $n-1$ volte in $]a,b[$ ed $n$ volte in $x_0$.
Quindi non mi ero posto il problema che un testo potesse aver saltato quell’ipotesi.
Inoltre, leggi bene il testo: può darsi che nell’uso della locuzione “derivabile $n$ volte in $x_0$” sia implicita l’ipotesi di derivabilità $n-1$ volte dappertutto.
Neanche il Pagani-Salsa la mette (*). Siamo sicuri sia solo una ipotesi mancante?
Da quanto ho capito c'è una profonda differenza tra il resto in forma di Peano e quello in forma di Lagrange.
Il primo infatti necessita appunto solo della derivabilità \(\displaystyle n \) volte in un punto \(\displaystyle x_0 \), mentre per il secondo serve la derivabilità in interi intervalli \(\displaystyle (a,b) \).
Questa differenza viene anche marcata qui:
https://math.stackexchange.com/question ... aylors-for
nell'unica risposta presente.
Viene poi marcata e commentata esplicitamente anche dallo Zorich.
(*) Teorema 2.9 pagina 314/315.
Da quanto ho capito c'è una profonda differenza tra il resto in forma di Peano e quello in forma di Lagrange.
Il primo infatti necessita appunto solo della derivabilità \(\displaystyle n \) volte in un punto \(\displaystyle x_0 \), mentre per il secondo serve la derivabilità in interi intervalli \(\displaystyle (a,b) \).
Questa differenza viene anche marcata qui:
https://math.stackexchange.com/question ... aylors-for
nell'unica risposta presente.
Viene poi marcata e commentata esplicitamente anche dallo Zorich.
(*) Teorema 2.9 pagina 314/315.
Allora... Gli enunciati classici dei teoremi sulla formula di Taylor sono i seguenti:
Detto ciò, ti spiacerebbe chiarire per bene cosa ti sembra strano?
Siano $(a,b)$ un intervallo, $f:(a,b) -> RR$ una funzione ed $x_0$ interno ad $(a,b)$.
Se $f$ è derivabile $n-1$ volte in $(a,b)$ ed $n$ volte in $x_0$, allora la differenza tra $f$ ed il suo polinomio di Taylor $T_n(*;x_0)$ d’ordine $n$ centrato in $x_0$ è infinitesima in $x_0$ d’ordine superiore ad $(x-x_0)^n$, i.e.:
\[
\lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - T_n(x;x_0)}{(x-x_0)^n} = 0\; .
\]
In altre parole, il resto $r_n$ della formula di Taylor è infinitesimo in $x_0$ d’ordine superiore ad $n$, cioè:
\[
r_n(x) = \text{o} ( (x-x_0)^n)\; .
\]
Siano $(a,b)$ un intervallo, $f:(a,b) -> RR$ una funzione ed $x_0$ interno ad $(a,b)$.
Se $f$ è derivabile $n+1$ volte in $(a,b)$ allora per ogni $x in (a,b)$ esiste un $xi in [ min\{ x,x_0\}, \max \{ x,x_0\} ]$ tale che
\[
r_n (x) = \frac{1}{(n+1)!}\ f^{(n+1)} (\xi )\ (x-x_0)^{n+1}\;.
\]
Detto ciò, ti spiacerebbe chiarire per bene cosa ti sembra strano?
Sintetizzando...
E' corretto questo enunciato:
Se una funzione \(\displaystyle \phi:E\to\mathbb{R} \), definita su un intervallo chiuso \(\displaystyle E \) dove \(\displaystyle x_0 \) è uno dei due estremi, ammette derivate in \(\displaystyle x_0 \) fino all'ordine \(\displaystyle n \) (incluso) e risulta che \(\displaystyle \phi (x_0)=\phi'(x_0)=...=\phi^{(n)}(x_0)=0 \), allora \(\displaystyle \phi (x)=\mathcal{o}\left( (x-x_0)^n\right) \) per \(\displaystyle E\ni x \to x_0 \).
o questo:
Se una funzione \(\displaystyle \phi:E\to\mathbb{R} \), definita su un intervallo chiuso \(\displaystyle E \) dove \(\displaystyle x_0 \) è uno dei due estremi, è derivabile \(\displaystyle (n-1) \) volte in \(\displaystyle E \), ammette derivate in \(\displaystyle x_0 \) fino all'ordine \(\displaystyle n \) (incluso) e risulta che \(\displaystyle \phi (x_0)=\phi'(x_0)=...=\phi^{(n)}(x_0)=0 \), allora \(\displaystyle \phi (x)=\mathcal{o}\left( (x-x_0)^n\right) \) per \(\displaystyle E\ni x \to x_0 \).
Fatti a favore della prima formulazione:
1. Il libro da cui tutto è partito, lo Zorich, commenta esplicitamente la presenza di una differenza molto profonda tra la formulazione del resto di Peano rispetto a quella di Lagrange/Cauchy. In particolare dice proprio che tale differenza consiste nel fatto che il teorema sul resto secondo Peano necessità di ipotesi ridotte, ovvero della sola derivabilità ($n$ volte) nel punto d'approssimazione \(\displaystyle x_0 \) (da cui ovviamente discende di conseguenza che si avrà derivabilità in un intorno di $x_0$ in $E$ delle derivate di ordine inferiore a $n$).
2. Anche sul link che ho postato nel messaggio precedente si sottolinea la stessa cosa.
3. Il Pagani-Salsa anch'esso non inserisce nelle ipotesi quanto c'è in grassetto nella seconda versione che ho scritto dell'enunciato.
4. Ancora lo Zorich, afferma come spunto di riflessione che la formula di Taylor con resto di Peano è la generalizzazione della definizione di differenziabilità in un punto, a cui ci si riduce quando \(\displaystyle n=1 \). Se guardo il secondo enunciato con $n=1$ ottengo una cosa un pò strana, dove diventa necessaria una ipotesi di continuità di $\phi$ per poter affermare che \(\displaystyle \phi (x_0)=\phi '(x_0)=0 \Rightarrow \phi (x)=\mathcal{o}(x-x_0) per E \ni x\to x_0 \).
EDIT: ho risposto prima che editassi il tuo messaggio.
E' corretto questo enunciato:
Se una funzione \(\displaystyle \phi:E\to\mathbb{R} \), definita su un intervallo chiuso \(\displaystyle E \) dove \(\displaystyle x_0 \) è uno dei due estremi, ammette derivate in \(\displaystyle x_0 \) fino all'ordine \(\displaystyle n \) (incluso) e risulta che \(\displaystyle \phi (x_0)=\phi'(x_0)=...=\phi^{(n)}(x_0)=0 \), allora \(\displaystyle \phi (x)=\mathcal{o}\left( (x-x_0)^n\right) \) per \(\displaystyle E\ni x \to x_0 \).
o questo:
Se una funzione \(\displaystyle \phi:E\to\mathbb{R} \), definita su un intervallo chiuso \(\displaystyle E \) dove \(\displaystyle x_0 \) è uno dei due estremi, è derivabile \(\displaystyle (n-1) \) volte in \(\displaystyle E \), ammette derivate in \(\displaystyle x_0 \) fino all'ordine \(\displaystyle n \) (incluso) e risulta che \(\displaystyle \phi (x_0)=\phi'(x_0)=...=\phi^{(n)}(x_0)=0 \), allora \(\displaystyle \phi (x)=\mathcal{o}\left( (x-x_0)^n\right) \) per \(\displaystyle E\ni x \to x_0 \).
Fatti a favore della prima formulazione:
1. Il libro da cui tutto è partito, lo Zorich, commenta esplicitamente la presenza di una differenza molto profonda tra la formulazione del resto di Peano rispetto a quella di Lagrange/Cauchy. In particolare dice proprio che tale differenza consiste nel fatto che il teorema sul resto secondo Peano necessità di ipotesi ridotte, ovvero della sola derivabilità ($n$ volte) nel punto d'approssimazione \(\displaystyle x_0 \) (da cui ovviamente discende di conseguenza che si avrà derivabilità in un intorno di $x_0$ in $E$ delle derivate di ordine inferiore a $n$).
2. Anche sul link che ho postato nel messaggio precedente si sottolinea la stessa cosa.
3. Il Pagani-Salsa anch'esso non inserisce nelle ipotesi quanto c'è in grassetto nella seconda versione che ho scritto dell'enunciato.
4. Ancora lo Zorich, afferma come spunto di riflessione che la formula di Taylor con resto di Peano è la generalizzazione della definizione di differenziabilità in un punto, a cui ci si riduce quando \(\displaystyle n=1 \). Se guardo il secondo enunciato con $n=1$ ottengo una cosa un pò strana, dove diventa necessaria una ipotesi di continuità di $\phi$ per poter affermare che \(\displaystyle \phi (x_0)=\phi '(x_0)=0 \Rightarrow \phi (x)=\mathcal{o}(x-x_0) per E \ni x\to x_0 \).
EDIT: ho risposto prima che editassi il tuo messaggio.
Ripeto: non ha alcun senso dire che una funzione è derivabile $n$ volte in un punto se non si assume che essa sia derivabile $n-1$ volte intorno a tale punto.
Visto, poi, il carattere locale del teorema si può assumere senz’altro che la funzione in esame sia derivabile $n-1$ volte ovunque nel suo insieme di definizione, anziché solo intorno al punto che interessa.
Visto, poi, il carattere locale del teorema si può assumere senz’altro che la funzione in esame sia derivabile $n-1$ volte ovunque nel suo insieme di definizione, anziché solo intorno al punto che interessa.
Mi stai dicendo dunque che i due enunciati che ho proposto io sono equivalenti?
Sì.
E secondo me se vai a spulciare bene nel testo, da qualche parte è detto esplicitamente quel che ti ho scritto.
Inoltre, le osservazioni che vengono fatte dagli autori continuano a valere: basta che confronti i due enunciati per rendertene conto.
E secondo me se vai a spulciare bene nel testo, da qualche parte è detto esplicitamente quel che ti ho scritto.
Inoltre, le osservazioni che vengono fatte dagli autori continuano a valere: basta che confronti i due enunciati per rendertene conto.
"gugo82":
Sì.
Allora ti chiedo scusa gugo82, ma proprio non riesco a capire.
Provo a ridire dove io non vedo l'equivalenza tra le due cose.
\(\displaystyle \phi: [a,x_0]\to\mathbb{R} \) è la nostra funzione.
Diciamo che esiste \(\displaystyle \phi ^{(n)}(x_0) \), allora esiste \(\displaystyle \phi^{(n-1)} (x) \) sia in $x_0$ che in un insieme di punti di $E$ per il quale $x_0$ è di accumulazione. Chiamiamo $E'$ questo insieme di punti ($x_0$ compreso). Chi mi garantisce che $E'$ sia un insieme della forma $[b,x_0]$? (\(\displaystyle a\leq b \))
Direi nessuno, e forse è qui che sbaglio ma ancora non vedo perché.
Aggiunta postuma: forse ho capito dove mi intoppo. Chiedo allora per favore una conferma.
Se ad esempio ho una funzione \(\displaystyle f:[0,1]\to\mathbb{R} \) derivabile solo nei punti \(\displaystyle \mathcal{A}=\left\{\frac{1}{n} \right\}_{n\in\mathbb{N}} \cup \{0\}\), posso ancora parlare di 'derivata seconda di $f$ in $0$' calcolandola così?
$$\lim_{\mathcal{A} \ni x\to 0}\frac{f'(x)-f'(0)}{x-0}$$
Oppure con 'derivata seconda di $f$ in $0$' si intende solo (\(\displaystyle 0\leq a\leq b\leq 1 \)):
$$\lim_{[a,b]\ni x\to 0}\frac{f'(x)-f'(0)}{x-0}$$
con l'ovvia ipotesi implicita di esistenza obbligatoria di \(\displaystyle f' \) in tutto $[a,b]$?
Grazie della pazienza e scusa se sono duro a capire.
Quale parte della frase “$f$ è derivabile $n-1$ volte intorno ad $x_0$” non ti è chiara?
"intorno ad".
Se puoi, mi sarebbe molto utile sapere con certezza che:
\[ \lim_{\mathcal{A} \ni x\to 0}\frac{f'(x)-f'(0)}{x-0} \]
non è possibile chiamarla derivata seconda di $f$ in $0$, mentre invece:
\[ \lim_{[a,b]\ni x\to 0}\frac{f'(x)-f'(0)}{x-0} \]
sì.
Se puoi, mi sarebbe molto utile sapere con certezza che:
\[ \lim_{\mathcal{A} \ni x\to 0}\frac{f'(x)-f'(0)}{x-0} \]
non è possibile chiamarla derivata seconda di $f$ in $0$, mentre invece:
\[ \lim_{[a,b]\ni x\to 0}\frac{f'(x)-f'(0)}{x-0} \]
sì.
"Ianero":
"intorno ad".
Giusto... D’altra parte, se un testo non si prende la briga di definire cristianamente cos'è un intervallo, perché il lettore dovrebbe sapere cosa significa “intorno ad un punto”?
Dire che una certa proprietà è soddisfatta “intorno ad $x_0$” (o “definitivamente intorno ad $x_0$”) significa affermare che esiste un intorno di tal punto, i.e. un intervallo aperto (o anche chiuso o semiaperto, basta che contenga almeno un paio di punti distinti) cui $x_0$ appartiene, nei punti del quale la certa proprietà è soddisfatta.
Dunque “$f$ è derivabile $n-1$ volte intorno ad $x_0$” significa che esiste un intervallo $(x_0 - delta , x_0+delta)$ in cui $f$ è derivabile $n-1$ volte.
Affinché $f$ sia derivabile $n$ volte in $x_0$ c'è bisogno che essa sia derivabile $n-1$ volte in tutto un intorno di $x_0$; intorno che nel caso dello Zorich è un intervallo del tipo $(x_0-delta, x_0] subset (a,x_0]$, mentre nei miei enunciati è un intorno completo $(x_0-delta , x_0+delta)$.
"Ianero":
Se puoi, mi sarebbe molto utile sapere con certezza che:
\[ \lim_{\mathcal{A} \ni x\to 0}\frac{f'(x)-f'(0)}{x-0} \]
non è possibile chiamarla derivata seconda di $f$ in $0$, mentre invece:
\[ \lim_{[a,b]\ni x\to 0}\frac{f'(x)-f'(0)}{x-0} \]
sì.
Ovvio.
Il primo limite non è la derivata di alcunché.
Tanto per fare un esempio, sai che[nota]E se non lo sai, dimostralo![/nota] la funzione $ f(x) := \{ (x sin (1/x), text(, se ) x!=0 ), ( 0, text(, altrimenti) ) :}$ non è derivabile in $0$; tuttavia il limite del rapporto incrementale in $0$ fatto lungo i punti della successione $A:=\{ x_n\}$ con $x_n = 1/(pi n)$ esiste e anzi risulta:
\[
\lim_{A\ni x \to 0} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = \lim_n \sin \pi n = 0\; .
\]
Ti ringrazio molto.
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