Formula di Taylor di una funzione composta con integrale
Ciao a tutti!
Anche oggi propongo un nuovo esercizio di cui mi illudo di conoscere la teoria, ma che nella pratica mi getta nello sconforto più totale. Tutti quelli che scrivo sono esercizi da tema d'esame dell'università Bicocca. Spesso gli esercizi dei compiti non sono mai stati affrontati in classe o solamente accennati e ovviamente nel libro in dotazione non c'è nemmeno l'ombra.
Oggi si tratta di fare la formula di Taylor con centro in $ x_0 = 1$ e resto di Peano, arrestata al secondo ordine,
della funzione
$G(x) = x int_{0}^{log(x^2)} (t+1)/(t + e^t) dt$
Utilizzo la formula: $sum_{0}^{n} (f^n(x_0)/(n!))(x-x_0)$
Dovrei fare $G^0(x_0)$ ma l'integrale non è risolvibile in modo elementare, quindi non ho idea di come poterlo valutare.
Successivamente userei il teorema fondamentale del calcolo integrale per fare $G'(x)$ ma il punto che questa è una funzione composta, con $f(x) = x$ e $h(x) = int_{0}^{log(x^2)} (t+1)/(t + e^t) dt$
Quindi seguendo la teoria, la derivata è $f'(x)h(x)+f(x)h'(x)$ e non sapendo il valore dell'integrale, non riuscirei ad andare avanti.
Per il secondo ordine farei $G''(x)$ e sono punto a capo.
Non capisco perchè ho questo gap tra la conoscenza della teoria e la pratica, nonostante abbia fatto una marea di esercizi e temi d'esame!
Anche oggi propongo un nuovo esercizio di cui mi illudo di conoscere la teoria, ma che nella pratica mi getta nello sconforto più totale. Tutti quelli che scrivo sono esercizi da tema d'esame dell'università Bicocca. Spesso gli esercizi dei compiti non sono mai stati affrontati in classe o solamente accennati e ovviamente nel libro in dotazione non c'è nemmeno l'ombra.
Oggi si tratta di fare la formula di Taylor con centro in $ x_0 = 1$ e resto di Peano, arrestata al secondo ordine,
della funzione
$G(x) = x int_{0}^{log(x^2)} (t+1)/(t + e^t) dt$
Utilizzo la formula: $sum_{0}^{n} (f^n(x_0)/(n!))(x-x_0)$
Dovrei fare $G^0(x_0)$ ma l'integrale non è risolvibile in modo elementare, quindi non ho idea di come poterlo valutare.
Successivamente userei il teorema fondamentale del calcolo integrale per fare $G'(x)$ ma il punto che questa è una funzione composta, con $f(x) = x$ e $h(x) = int_{0}^{log(x^2)} (t+1)/(t + e^t) dt$
Quindi seguendo la teoria, la derivata è $f'(x)h(x)+f(x)h'(x)$ e non sapendo il valore dell'integrale, non riuscirei ad andare avanti.
Per il secondo ordine farei $G''(x)$ e sono punto a capo.
Non capisco perchè ho questo gap tra la conoscenza della teoria e la pratica, nonostante abbia fatto una marea di esercizi e temi d'esame!
Risposte
Infatti non devi valutarlo, l'integrale...
Innanzitutto, osserviamo che ponendo:
\[
G(x) = G(1) + G^\prime (1)\ (x-1)+ \frac{1}{2}\ G^{\prime \prime}(1)\ (x-1)^2 + \text{o}\big( (x-1)^2\big)\; ,
\]
il coefficiente di Taylor d'ordine $0$ è:
\[
g_0=G(1) = 0\; ;
\]
quindi rimangono da calcolare:
\[
\begin{split}
g_1 &= G^\prime (1)\\
g_2 &= \frac{1}{2}\ G^{\prime \prime}(1)\; ,
\end{split}
\]
cioè le derivate di $G$.
Guardiamo un po' con attenzione la funzione assegnata:
\[
G(x) := x\ \int_0^{\log (x^2)} \frac{t+1}{t+e^t}\ \text{d}t\; .
\]
Essa è il prodotto di due funzioni, cioè:
\[
\begin{split}
G_1(x) &= x\\
G_2(x) &= \int_0^{\log x^2} \frac{t+1}{t+e^t}\ \text{d}t\; ,
\end{split}
\]
quindi:
\[
\begin{split}
G^\prime (x) &= G_1^\prime (x)\ G_2(x) + G_1(x)\ G_2^\prime (x)\\
&= 1\cdot \int_0^{\log x^2} \frac{t+1}{t+e^t}\ \text{d}t + x\ G_2^\prime (x)\\
&= \int_0^{\log x^2} \frac{t+1}{t+e^t}\ \text{d}t + x\ G_2^\prime (x)\; ,
\end{split}
\]
avendo calcolato velocemente la derivata di $G_1$. Rimane da calcolare la derivata di $G_2$, che è un po' più rognosa... Infatti, a ben guardare, si capisce che $G_2$ è una funzione composta: in particolare, essa è del tipo:
\[
G_2(x) = F(\phi (x))
\]
con:
\[
\begin{split}
F(y) &:= \int_0^y \frac{t+1}{t+e^t}\ \text{d}t\\
\phi(x) &:= \log (x^2)\; ;
\end{split}
\]
dunque, tenendo presente che la derivata della funzione integrale è la funzione integranda, abbiamo:
\[
\begin{split}
G_2^\prime (x) &= F^\prime (\phi (x))\cdot \phi^\prime (x)\\
&= \frac{\log (x^2) + 1}{\log(x^2) + e^{\log (x^2)}}\ \frac{2x}{x^2}\\
&= \frac{\log (x^2) + 1}{\log(x^2) + x^2}\ \frac{2}{x}\; .
\end{split}
\]
Infine:
\[
\begin{split}
G^\prime (x) &= \int_0^{\log x^2} \frac{t+1}{t+e^t}\ \text{d}t + x\ \frac{\log (x^2) + 1}{\log(x^2) + x^2}\ \frac{2}{x}\\
&= \int_0^{\log x^2} \frac{t+1}{t+e^t}\ \text{d}t + 2\ \frac{\log (x^2) + 1}{\log(x^2) + x^2}\; ,
\end{split}
\]
ed il coefficiente di Taylor $g_1$ è:
\[
g_1 = G^\prime (1) = 2\; .
\]
Stesso discorso per calcolare $g_2$... Prova.
Innanzitutto, osserviamo che ponendo:
\[
G(x) = G(1) + G^\prime (1)\ (x-1)+ \frac{1}{2}\ G^{\prime \prime}(1)\ (x-1)^2 + \text{o}\big( (x-1)^2\big)\; ,
\]
il coefficiente di Taylor d'ordine $0$ è:
\[
g_0=G(1) = 0\; ;
\]
quindi rimangono da calcolare:
\[
\begin{split}
g_1 &= G^\prime (1)\\
g_2 &= \frac{1}{2}\ G^{\prime \prime}(1)\; ,
\end{split}
\]
cioè le derivate di $G$.
Guardiamo un po' con attenzione la funzione assegnata:
\[
G(x) := x\ \int_0^{\log (x^2)} \frac{t+1}{t+e^t}\ \text{d}t\; .
\]
Essa è il prodotto di due funzioni, cioè:
\[
\begin{split}
G_1(x) &= x\\
G_2(x) &= \int_0^{\log x^2} \frac{t+1}{t+e^t}\ \text{d}t\; ,
\end{split}
\]
quindi:
\[
\begin{split}
G^\prime (x) &= G_1^\prime (x)\ G_2(x) + G_1(x)\ G_2^\prime (x)\\
&= 1\cdot \int_0^{\log x^2} \frac{t+1}{t+e^t}\ \text{d}t + x\ G_2^\prime (x)\\
&= \int_0^{\log x^2} \frac{t+1}{t+e^t}\ \text{d}t + x\ G_2^\prime (x)\; ,
\end{split}
\]
avendo calcolato velocemente la derivata di $G_1$. Rimane da calcolare la derivata di $G_2$, che è un po' più rognosa... Infatti, a ben guardare, si capisce che $G_2$ è una funzione composta: in particolare, essa è del tipo:
\[
G_2(x) = F(\phi (x))
\]
con:
\[
\begin{split}
F(y) &:= \int_0^y \frac{t+1}{t+e^t}\ \text{d}t\\
\phi(x) &:= \log (x^2)\; ;
\end{split}
\]
dunque, tenendo presente che la derivata della funzione integrale è la funzione integranda, abbiamo:
\[
\begin{split}
G_2^\prime (x) &= F^\prime (\phi (x))\cdot \phi^\prime (x)\\
&= \frac{\log (x^2) + 1}{\log(x^2) + e^{\log (x^2)}}\ \frac{2x}{x^2}\\
&= \frac{\log (x^2) + 1}{\log(x^2) + x^2}\ \frac{2}{x}\; .
\end{split}
\]
Infine:
\[
\begin{split}
G^\prime (x) &= \int_0^{\log x^2} \frac{t+1}{t+e^t}\ \text{d}t + x\ \frac{\log (x^2) + 1}{\log(x^2) + x^2}\ \frac{2}{x}\\
&= \int_0^{\log x^2} \frac{t+1}{t+e^t}\ \text{d}t + 2\ \frac{\log (x^2) + 1}{\log(x^2) + x^2}\; ,
\end{split}
\]
ed il coefficiente di Taylor $g_1$ è:
\[
g_1 = G^\prime (1) = 2\; .
\]
Stesso discorso per calcolare $g_2$... Prova.
Ho capito perfettamente!!
Ancora una volta ti ringrazio per tutto l'aiuto dato!
Vediamo se faccio le cose correttamente:
$G\prime\prime(x) = (log(x^2)+1)/(log(x^2)+x^2) + 2(2/x(log(x^2)+x^2)-(log(x^2)+1)(2/x+2x))/(log(x^2)+x^2)$
Valutato in $x_0 = 1$ ho che $G\prime\prime(x_0) = -3$, da cui $g_2 = -3/2$
E lo sviluppo è: $G(x) = 2(x-1) -3/2(x-1)^2+ o(x-1)^2$
Ancora una volta ti ringrazio per tutto l'aiuto dato!
Vediamo se faccio le cose correttamente:
$G\prime\prime(x) = (log(x^2)+1)/(log(x^2)+x^2) + 2(2/x(log(x^2)+x^2)-(log(x^2)+1)(2/x+2x))/(log(x^2)+x^2)$
Valutato in $x_0 = 1$ ho che $G\prime\prime(x_0) = -3$, da cui $g_2 = -3/2$
E lo sviluppo è: $G(x) = 2(x-1) -3/2(x-1)^2+ o(x-1)^2$
Occhio ai calcoli...
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