Formula di taylor con resto di Peano?
Chi di buona volontà mi aiuta a capirlo??
Risposte
Spiega bene i tuoi dubbi specifici e le cose che non ti sono chiare.
Non mi è chiaro cosa sia il polinomio di taylor di II grado...e cosa sia effettivamente il resto di Peano...
Allora ci provo io:tecnicamente gli sviluppi di taylor servono essenzialmente per approssimare il comportamento di una funzione $f(x)$ in un punto qualsiasi del suo dominio $x_0$:nel caso in cui il punto in questione sia proprio lo 0 allora esso si chiamera Sviluppo di Mac Laurin.
Comunque andiamo per ordine:ammetiamo di avere una funzione f(x);come ben sai la funzione che approssima meglio f(x) in un punto $x_0$ e la tangente in quel punto,ovvero l'equazione $y=f(x_0)+f^{\prime}(x_0)(x-x_0)$.
Bene ammettiamo poi di voler trovare una funzione di grado 2 che approssimi ancora meglio la nostra funzione f(x) nel punto $x_0$.
Essa avra come equazione $y=a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)^2$ bisogna quindi per approssimare la funzione che $a_0=f(x_0)$, che $a_1=f^{\prime}(x_0)$ e che $a_2=f^2(x_0)$.
quindi:
1 $y^{\prime}(x)=0+a_1+2a_2(x-x_0)$----> $f^{\prime}(x_0)=a_1+2a_2(x_0-x_0)$------>$a_1=f^{\prime}(x_0)$
2 $y^{\prime}'(x)=+2a_2$-----> $f^{\prime}'(x_0)=2a_2"$---->$a_2=(1/2)f^{\prime}'(x_0)$
Risulta quindi che l'equazione di secondo grado che approsima meglio f(x) nel punto $x_0$ è:
$y=f(x_0)+f^{\prime}(x_0)(x-x_0)+(1/2)f^{\prime}'(x_0)(x-x_0)^2.
si puo andare cosi all'infinto trovando cosi equazioni(funzioni) di grado n che approssimino sempre meglio l'andamento della funzione nel punto x_0.
Arrivando cosi alla formula generale:
$f(x)=f(x_0)+f^'(x_0)(x-x_0)+(1/(2!))f^''(x-x_0)^2+(1/(3!))f^'''(x_0)(x-x_0)^3+.........+(1/(n!))f^n(x_0)(x-x_0)^n+(o(x-x_0)^n)$
$(o(x-x_0)^n)$ si chiama resto di peano e sta and indicare che ci saranno sempre altre funzioni di grado n che approsimano meglio la funzione iniziale f(x) nel punto $x_0$.
E' molto importante lo sviluppo di taylor nei limiti di infinitesimi perchè ti permette di far diventare un polinomio qualsiasi funzione infinitesima per $x->x_0$ e studiare cosi molto più facilmente il limite nell'intorno di $x_0$.Spero di essere stato chiaro!
Comunque andiamo per ordine:ammetiamo di avere una funzione f(x);come ben sai la funzione che approssima meglio f(x) in un punto $x_0$ e la tangente in quel punto,ovvero l'equazione $y=f(x_0)+f^{\prime}(x_0)(x-x_0)$.
Bene ammettiamo poi di voler trovare una funzione di grado 2 che approssimi ancora meglio la nostra funzione f(x) nel punto $x_0$.
Essa avra come equazione $y=a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)^2$ bisogna quindi per approssimare la funzione che $a_0=f(x_0)$, che $a_1=f^{\prime}(x_0)$ e che $a_2=f^2(x_0)$.
quindi:
1 $y^{\prime}(x)=0+a_1+2a_2(x-x_0)$----> $f^{\prime}(x_0)=a_1+2a_2(x_0-x_0)$------>$a_1=f^{\prime}(x_0)$
2 $y^{\prime}'(x)=+2a_2$-----> $f^{\prime}'(x_0)=2a_2"$---->$a_2=(1/2)f^{\prime}'(x_0)$
Risulta quindi che l'equazione di secondo grado che approsima meglio f(x) nel punto $x_0$ è:
$y=f(x_0)+f^{\prime}(x_0)(x-x_0)+(1/2)f^{\prime}'(x_0)(x-x_0)^2.
si puo andare cosi all'infinto trovando cosi equazioni(funzioni) di grado n che approssimino sempre meglio l'andamento della funzione nel punto x_0.
Arrivando cosi alla formula generale:
$f(x)=f(x_0)+f^'(x_0)(x-x_0)+(1/(2!))f^''(x-x_0)^2+(1/(3!))f^'''(x_0)(x-x_0)^3+.........+(1/(n!))f^n(x_0)(x-x_0)^n+(o(x-x_0)^n)$
$(o(x-x_0)^n)$ si chiama resto di peano e sta and indicare che ci saranno sempre altre funzioni di grado n che approsimano meglio la funzione iniziale f(x) nel punto $x_0$.
E' molto importante lo sviluppo di taylor nei limiti di infinitesimi perchè ti permette di far diventare un polinomio qualsiasi funzione infinitesima per $x->x_0$ e studiare cosi molto più facilmente il limite nell'intorno di $x_0$.Spero di essere stato chiaro!
"Chiarettina":
Non mi è chiaro cosa sia il polinomio di taylor di II grado...e cosa sia effettivamente il resto di Peano...
Un intero argomento, in pratica! Non hai capito proprio niente? Il modo migliore per farti aiutare è riportare dei passaggi oscuri, magari presi dal libro di testo o dagli appunti, o esercizi sui quali ti sei impantanata...
L'idea del polinomio di Taylor è quella di approssimare localmente una funzione con un polinomio di grado $n$. Questo significa poter scrivere $f$ come
$f(x) = P_n (x) + r(x)$ , $P_n$ è il polinomio di ordine $n$ e $r(x)$ è il resto.
La cosa fondamentale e più importante è che $lim_(x -> x_0) (r(x))/(x - x_0)^n = 0$ (cioè che il resto $r$ sia un infinitesimo di ordine superiore rispetto a $(x - x_0)^n$ ).
Teuliello...so di non aver posto una domanda facile...ma dalla tua spiegazione ho almeno un ordine che mi aiuti a capire tutti i passaggi, cosa che viene esclusa da qualsiasi libro io abba consultato...mi risulta il tutto ancora un po ostico, ma naturalmente ancora devo studiarlo e quindi capirlo fino in fondo!! Ti ringrazio, mi sei stato molto di aiuto!!
Prego chiarettina!All'inizio è cosi ma in generale si lavora con gli sviluppi di mac laurin cioè nel punto $x_0=0$ fai il quinto o sei all'uni?
"Seneca":
[quote="Chiarettina"]Non mi è chiaro cosa sia il polinomio di taylor di II grado...e cosa sia effettivamente il resto di Peano...
Un intero argomento, in pratica! Non hai capito proprio niente? Il modo migliore per farti aiutare è riportare dei passaggi oscuri, magari presi dal libro di testo o dagli appunti, o esercizi sui quali ti sei impantanata...
L'idea del polinomio di Taylor è quella di approssimare localmente una funzione con un polinomio di grado $n$. Questo significa poter scrivere $f$ come
$f(x) = P_n (x) + r(x)$ , $P_n$ è il polinomio di ordine $n$ e $r(x)$ è il resto.
La cosa fondamentale e più importante è che $lim_(x -> x_0) (r(x))/(x - x_0)^n = 0$ (cioè che il resto $r$ sia un infinitesimo di ordine superiore rispetto a $(x - x_0)^n$ ).[/quote]
Bè si, è tutto l'argomento che non ho ancora ben afferrato...non abbiamo fatto e non faremo esercizi con questa formula, che mi servirà invece per l'orale... il libro di testo non mi riporta i passaggi e gli appunti del prof neanche... i miei qualcosina ce l'hanno, ma molto confusa. Per questo ho chiesto a voi.. Mille grazie per la risposta..ora mi appunto tutto ciò che avete detto e cercherò di capire e ricordare ogni passaggio, cioè di studiarlo.. =S Graziee =D
"Teuliello":
Prego chiarettina!All'inizio è cosi ma in generale si lavora con gli sviluppi di mac laurin cioè nel punto $x_0=0$ fai il quinto o sei all'uni?
Sono all'università.... Scienze Geologiche
"Teuliello":
$(o(x-x_0)^n)$ si chiama resto di peano e sta and indicare che ci saranno sempre altre funzioni di grado n che approsimano meglio la funzione iniziale f(x) nel punto $x_0$.
Veramente il resto in quella forma ti fornisce informazioni qualitative (non quantitative o numeriche) sull'errore che commetti, in un intorno di $x_0$, sostituendo $P_n (x)$ (il polinomio di Taylor di ordine $n$) a $f(x)$. In altre parole sai che il resto, lo scarto tra $f$ e $P_n$ è infinitesimo; nella forma di Peano hai anche modo di renderti conto di che ordine di infinitesimo si tratta (con che "velocità" tende a $0$ il resto, per $x -> x_0$).
Ah be dai non è un argomento poi cosi difficile,bisogna esercitarsi un pò!In bocca al lupo!
"Teuliello":
Ah be dai non è un argomento poi cosi difficile,bisogna esercitarsi un pò!In bocca al lupo!
Crepi il lupo!!
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