Formula di Taylor con Resto di Lagrange

[emanuele.sottili]

Salve a tutti!
Sono bloccato relativamente all' esecuzione di un esercizio che vede come argomento la determinazione del punto (c) all' interno della funzione f(x)= lg(2x+3),sviluppando il il polinomio di Taylor fino al grado n=1 considerando i valori x0=0 e x=1. Qualcuno saprebbe darmi delucidazioni circa l' esecuzione dell' esercizio?
Un ringraziamento in anticipo per la disponibilità.

P.S: perdonate la mia incapacità nel postare la formula con l' opportuno linguaggio previsto dal forum, ma essendo nuovo ancora ci devo prendere mano. Ad ogni modo spero di aver postato la funzione e i dati in maniera abbastanza chiara, se così non fosse, permettetemi di notarlo e cercherò di riscrivere nella maniera più chiara possibile

[Luca.Lussardi]

Infatti non si capisce che cosa chiedi.

[emanuele.sottili]

"Luca.Lussardi":Infatti non si capisce che cosa chiedi.

L' esercizio chiede di determinale il punto "c" di cui alla tesi del Teorema di Taylor sviluppando il polinomio fino al grado n=1 con i valori x0=0 e x=1, della funzione: F(x) = log(2x+3).
Il testo dell' esercizio è così, quindi anche sviluppata con il relativo linguaggio non avrei potuto scrivere altro.
Ad ogni modo non sperando più in una risposta, ho svolto e risolto da solo una volta capito come applicare il Resto. Pubblico il procedimento nel caso a qualcuno dovesse tornare utile.

Calcoliamo lo sviluppo sino al grado n=2
Ci serve un grado in più visto che dobbiamo usare il resto di Lagrange.
f(x)=ln(2x+3) ⇒ f(1)=ln3
f '(x)=2/(2x+3) ⇒ f '(1)=2/3
f"(x)=-4/(2x+3)² ⇒ f"(c)=-4/(2c+3)²
per Taylor avremo
f(x)=ln3+2x/3-4x²/[2!(2c+3)²] con c∈(0,x)
semplificando
f(x)=ln3+2x/3-2x²/(2c+3)² con c∈(0,x)
Poniamo x=1
f(1)=ln3+2/3-2/(2c+3)² con c∈(0,1)
ora f(1)=ln5 per cui
ln5=ln3+2/3-2/(2c+3)² con c∈(0,1)
2/(2c+3)²=ln(3/5)+2/3
2/[ln(3/5)+2/3]=(2c+3)²
6/[3ln(3/5)+2]=(2c+3)²
√{6/[3ln(3/5)+2]}=2c+3
√{6/[3ln(3/5)+2]}-3=2c
c=√{6/[3ln(3/5)+2]}/2-3/2=
=√3/[6ln(3/5)+4]-3/2

[dissonance]

"sottconfuso94":Pubblico il procedimento nel caso a qualcuno dovesse tornare utile.

Hai fatto molto bene a farlo. La prossima volta però scrivi le [formule][/formule] usando le istruzioni che trovi nel link. Come hai scritto è purtroppo quasi illeggibile.

[emanuele.sottili]

"dissonance":[quote="sottconfuso94"]Pubblico il procedimento nel caso a qualcuno dovesse tornare utile.

Hai fatto molto bene a farlo. La prossima volta però scrivi le [formule][/formule] usando le istruzioni che trovi nel link. Come hai scritto è purtroppo quasi illeggibile.[/quote]

Cerco di ripostarlo con il linguaggio previsto dalle istruzioni appena mi è possibile

[emanuele.sottili]

Riscrivo la soluzione dell' esercizio con il linguaggio richiesto.

$ f(x)= ln(2x+3) $
$ f(x)=ln(2x+3) ⇒ f(x0=0)=ln3 $
$ f '(x)=2/(2x+3) ⇒ f '(x0=0)=2/3 $
$ f "(x)=-4/(2x+3)^2 ⇒ f"(c)=-4/(2c+3)^2 $
per Taylor avremo
$ f(x)=ln3+2x/3-4x^2/[2!(2c+3)^2] con c∈(0,x) $
semplificando
$ f(x)=ln3+2x/3-2x^2/(2c+3)^2 con c∈(0,x) $
Poniamo x=1
$ f(1)=ln3+2/3-2/(2c+3)^2 con c∈(0,1) $
ora $ f(1)=ln5 $ per cui
$ ln5=ln3+2/3-2/(2c+3)^2 con c∈(0,1) $
$ 2/(2c+3)^2=ln(3/5)+2/3 $
$ 2/[ln(3/5)+2/3]=(2c+3)^2 $
$ 6/[3ln(3/5)+2]=(2c+3)^2 $
$ √{6/[3ln(3/5)+2]}=2c+3 $
$ √{6/[3ln(3/5)+2]}-3=2c $
$ c=√{6/[3ln(3/5)+2]}/2-3/2= $
$ =√3/[6ln(3/5)+4]-3/2 $