Formula di taylor
ciao qualcuno saprebbe dirmi la differenza tra lo sviluppo di $ sin(x^n)$ e $sin^n(x)??$ ad esempio lo sviluppo di $sin(x^3) $ è lo stesso di $sin^3(x)?
Risposte
No, assolutamente. Considera lo sviluppo generale della funzione seno:
[tex]$\sin t=\sum_{k=0}^N \frac{(-1)^k}{(2k+1)!}\cdot t^k+o(x^N)$[/tex]
Allora quello che ottieni è la cosa seguente:
[tex]$\sin^n x=\left(\sum_{k=0}^N \frac{(-1)^k}{(2k+1)!}\cdot x^k+o(x^N)\right)^n$[/tex]
[tex]$\sin x^n=\sum_{k=0}^N \frac{(-1)^k}{(2k+1)!}\cdot (x^n)^k+o((x^n)^N)$[/tex]
(nel secondo basta sostituire $t=x^n$, mentre nel primo basta elevare a potenza).
Come puoi vedere facendo un po' di conti, le due espressioni risultano totalmente differenti.
[tex]$\sin t=\sum_{k=0}^N \frac{(-1)^k}{(2k+1)!}\cdot t^k+o(x^N)$[/tex]
Allora quello che ottieni è la cosa seguente:
[tex]$\sin^n x=\left(\sum_{k=0}^N \frac{(-1)^k}{(2k+1)!}\cdot x^k+o(x^N)\right)^n$[/tex]
[tex]$\sin x^n=\sum_{k=0}^N \frac{(-1)^k}{(2k+1)!}\cdot (x^n)^k+o((x^n)^N)$[/tex]
(nel secondo basta sostituire $t=x^n$, mentre nel primo basta elevare a potenza).
Come puoi vedere facendo un po' di conti, le due espressioni risultano totalmente differenti.
Ciao, come puoi dedurre da quello che ha scritto ciampax, $sin^3(x)=(sin(x))^3$ e questo è diverso da $sin(x^3)$.
chiarissimo grazie 
inoltre sai come si approssima con taylor $log(senx)$ e $sqrt(x)$??
sul libro ci sono gli sviluppi di $log(1+x)$ e$(x+1)^alpha$ giustamente perchè sennò tutte le derivate sono 0...
inoltre sai come si approssima con taylor $log(senx)$ e $sqrt(x)$??sul libro ci sono gli sviluppi di $log(1+x)$ e$(x+1)^alpha$ giustamente perchè sennò tutte le derivate sono 0...
Dipende da quale è il punto in cui vuoi ottenere lo sviluppo. Se quello che cerchi è lo sviluppo in $x=0$ devo darti una brutta notizia: esso non esiste. Infatti le funzioni che hai scritto non sono derivabili in $x=0$ (quello che dici che le loro derivate sono tutte nulle è errato! e la prima funzione neanche è definita in $x=0$!) per cui il Teorema di Taylor non si applica.
grazie è come pensavo...però in un limite di questo tipo come faccio?lascio il termine $sqrt(x)$ e quando calcolo gli o piccolo devo tenere conto che ho un esponente mezzo?
$ lim_(x -> 0)$ $(sqrt(x)sin(sqrtx)+ ln(1-x))/(2x(sqrt(x)+x)^2)
Chiaramente può essere risolto con i limiti notevoli....
$ lim_(x -> 0)$ $(sqrt(x)sin(sqrtx)+ ln(1-x))/(2x(sqrt(x)+x)^2)
Chiaramente può essere risolto con i limiti notevoli....
Bé, in un limite di questo tipo di consiglio per prima cosa di sostituire $\sqrt{x}=t$ (il limite va calcolato solo per $x\to 0^+$ e quindi per $t\to 0^+$). La funzione diventa
[tex]$\frac{t\sin t+\log(1-t^2)}{2t^2(t+t^2)^2}$[/tex]
e lo sviluppo del numeratore diventa molto semplice (mentre il denominatore risulta banalmente localmente confrontabile con $2t^4$, cioè la potenza più piccola).
[tex]$\frac{t\sin t+\log(1-t^2)}{2t^2(t+t^2)^2}$[/tex]
e lo sviluppo del numeratore diventa molto semplice (mentre il denominatore risulta banalmente localmente confrontabile con $2t^4$, cioè la potenza più piccola).
grande! grazie mille. il limite fa -1/3 se ho fatto bene i calcoli. quindi se la prof mi dice calcolare,se esiste questo limite, devo cmq calcolarlo e dire che esiste da destra perchè la radice di un numero negativo nn è definita in R?
Esatto. Puoi calcolare i limiti solo per i punti di accumulazione del dominio della funzione, e nel tuo caso $x\to 0^-$ non risulta d'accumulazione in quanto non ci sono intorni sinistri di zero che contengono altri punti del dominio, visto che questo è $D=(0,+\infty)$.
capito grazie:) è possibile invece che questo limite fa $ +oo $? sempre con $x->xo$
$(sqrt(x)sin(sqrt(x))+ln(1-x))/(x(2x+x)^2)$
io l'ho risolto così:
ho posto $sqrt(x)=t$ quindi viene:
$(tsint+ln(1-t^2))/(9t^6)$
applicando gli sviluppi di taylor ottengo:
$(t(t- (t^3)/6 + (t^5)/(5!) + o(t^6))-(t^2) -(t^4)/2 -(t^6)/3- o(t^6))/(9t^6)$
e quindi svolgendo:
$(-(t^4)/6 +(t^6)/120 -(t^4)/2 -(t^6)/3 +o(t^6))/(9t^6)$ che chiaramente fa $+oo$ per $x->0$
$(sqrt(x)sin(sqrt(x))+ln(1-x))/(x(2x+x)^2)$
io l'ho risolto così:
ho posto $sqrt(x)=t$ quindi viene:
$(tsint+ln(1-t^2))/(9t^6)$
applicando gli sviluppi di taylor ottengo:
$(t(t- (t^3)/6 + (t^5)/(5!) + o(t^6))-(t^2) -(t^4)/2 -(t^6)/3- o(t^6))/(9t^6)$
e quindi svolgendo:
$(-(t^4)/6 +(t^6)/120 -(t^4)/2 -(t^6)/3 +o(t^6))/(9t^6)$ che chiaramente fa $+oo$ per $x->0$
Ma il denominatore in questo caso quanto vale? Se è come hai scritto, il risultato è corretto... ma mi pare stupido che sia scritto $(2x+x)^2$ e non direttamente $(3x)^2$.
si confermo lo stesso dubbio è venuto pure a me. ma pare proprio che sia cosi... lo sviluppo della tangente non può essere definito invece come lo sviluppo del seno sullo sviluppo del coseno?
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