Formula di taylor

[scarly2]

sia f: R->R una funzione infinite volte derivabile avente un massimo locale in x[size=75]0[/size]=0. Quale tra le seguenti può eseere la formula di Taylor di f con centro in x[size=75]0[/size]=0?

1) f(x)=$1+5x^2+$o$(x^2)$
2) f(x)=$-3-2x^4+$o$(x^4)$
3) f(x)=$1-3x^3+$o$(x^3)$
4) f(x)=$x-x^2+$o$(x^2)$

la risposta giusta è la 2...ma non capisco perchè...tipo se prendo la 1 e faccio la derivata mi esce 10x che si annulla in 0 quindi anche questa ha un punto stazionario in x=0.se prendo la 3 la derivata è $-27x^2$ stessa cosa ha un punto stazionario in x=0...quindi cosa è che mi sfugge???

[dissonance]

Hai fatto un'analisi al primo ordine, e hai potuto escludere la 4 che in $0$ non ha un punto stazionario. Ma avere un punto stazionario non significa che questo sia un massimo. Ti ricordo che una condizione sufficiente per questo è che la derivata prima si annulli e la derivata seconda sia negativa nel punto in questione; e se la derivata seconda pure si annulla, puoi ricavare condizioni analoghe dalle derivate di ordine superiore.

[scarly2]

grazie dell'aiuto...quindi in questo caso particolare mi serve la derivata quarta della 2 funzione che esce -48 per farmi capire che questa ha un massimo locale in x=0.....se invece mi fosse stato chiesto in un altro esercizio di trovare la funzione che abbia un punto di minimo in un dato punto x[size=75]0[/size]...la condizione sufficiente è che la derivata prima si annulli in quel punto e la derivata seconda (o quelle successive ) mi esce positiva sempre in quel punto no?

[dissonance]

La condizione sufficiente con la derivata seconda che hai scritto è giusta, attenzione con le derivate successive: per avere un massimo locale, se si annullano derivata prima e seconda, e la derivata terza no, allora il punto è di flesso; se si annulla anche la derivata terza, e la derivata quarta è positiva, allora il punto è di minimo, se è negativa di massimo; e così via distinguendo ordini pari e ordini dispari di derivazione. Ma ricordarsi questa roba così come l'ho scritta è un casino, meglio invece ragionare direttamente sulla formula di Taylor: prendi per esempio

$1+x^3+o(x^3)$

se trascuri gli infinitesimi di ordine superiore, ottieni la funzione

$1+x^3$

il cui grafico intorno a $0$ è facilissimo da disegnare:

[asvg]xmin=-1; xmax=1; ymin=0; ymax=2; axes(); plot("1+x^3");[/asvg]

Questa funzione in $0$ ha un flesso; allora ti ricordi che anche la tua funzione originaria avrà un flesso. Se ti fosse capitato

$1+x^4+o(x^4)$

con lo stesso sistema avresti ottenuto l'approssimazione locale

$1+x^4$

il cui grafico è

[asvg]xmin=-1; xmax=1; ymin=0; ymax=2; axes(); plot("1+x^4");[/asvg]

e ha un minimo in $0$; questo ti ricorda che anche la tua funzione originaria ha un minimo.

NOTA: Queste non sono dimostrazioni rigorose, ma solo tecniche mnemoniche. Il concetto è quello, comunque.

[scarly2]

grazie della spiegazione...sei stato chiarissimo.ho solo una cosa che non mi è chiara....hai scritto "via distinguendo ordini pari e ordini dispari di derivazione"....che vorresti dire?

[scarly2]

scusami ...in poche parole mi vorresti dire anche con gli esempi che mi servono le derivate di ordine pari per capire se è un massimo o un minimo no?

[dissonance]

E' una locuzione con cui cercavo di glissare senza entrare troppo nel dettaglio. Volevo dire: se la prima derivata non nulla ha ordine dispari, allora c'è un flesso; se la prima derivata non nulla ha ordine pari, allora a seconda del segno che essa assume nel punto c'è un massimo o un minimo.

Questa è una cosa che (secondo me) si ricorda molto facilmente per via grafica, mediante la tecnica di trascurare gli infinitesimi di ordine superiore che dicevo sopra; esprimerla a parole è un po' fastidioso, e ricordarla nella versione a parole è ancora peggio.