Formula di Taylor
Salve a tutti ho un piccolo dubbio per quanto riguarda la formula di Taylor
allora la formula è: $lim_(x->0)\sum_{k=0}^n (f^k(x_0))/((k)!) (x-x_0)^k + o((x-x_0)^k)$
quindi applicandola ad esempio alla funzione seno uscirebbe:
$lim_(x->0) (sin(0))/((0)!) (x-0)^0 + (cos(0))/((1)!) (x-0)^1 - (sin(0))/((2)!) (x-0)^2 -(cos(0))/((3)!) (x-0)^3 + o((x-x_0)^3)$
$lim_(x->0) 0 + x - 0 -x^3/3 + o(x^3)$
e quindi : $lim_(x->0) x -x^3/3 + o(x^3)$
ma perchè invece usando la formula dello sviluppo elementare del seno esce:$ sin(x)= \sum_{k=0}^n (-1)^k x^(2k+1)/((2k+1)!) + o(x^(2n+2))$
e quindi: $sin(x)=(-1)^0 x^(1)/((1)!)+ (-1)^1 x^(3)/((3)!) + o(x^(4)) = x - x^3/3 + o(x^(4)) $
A $f'(x)$ la funzione seno non dovrebbe essere x?
allora la formula è: $lim_(x->0)\sum_{k=0}^n (f^k(x_0))/((k)!) (x-x_0)^k + o((x-x_0)^k)$
quindi applicandola ad esempio alla funzione seno uscirebbe:
$lim_(x->0) (sin(0))/((0)!) (x-0)^0 + (cos(0))/((1)!) (x-0)^1 - (sin(0))/((2)!) (x-0)^2 -(cos(0))/((3)!) (x-0)^3 + o((x-x_0)^3)$
$lim_(x->0) 0 + x - 0 -x^3/3 + o(x^3)$
e quindi : $lim_(x->0) x -x^3/3 + o(x^3)$
ma perchè invece usando la formula dello sviluppo elementare del seno esce:$ sin(x)= \sum_{k=0}^n (-1)^k x^(2k+1)/((2k+1)!) + o(x^(2n+2))$
e quindi: $sin(x)=(-1)^0 x^(1)/((1)!)+ (-1)^1 x^(3)/((3)!) + o(x^(4)) = x - x^3/3 + o(x^(4)) $
A $f'(x)$ la funzione seno non dovrebbe essere x?
Risposte
[mod="dissonance"]Per favore cambia titolo, metti qualcosa di più esplicativo. "Piccolo dubbio sulla formula di Taylor" va bene.[/mod]
bè visto che hai letto il topic per dirmi di modificare il titolo potevi anche risp visto che stavi
Perdona se mi intrometto, ma magari non ne ha avuto il tempo 
.
Comunque ascolta, credo di non aver capito qualche cosa:
Innanzitutto in $o(x^(2x+2))$ dovrebbe essere $x^(2n+2)$.
Poi questa formula dovrebbe essere se non ricordo male scritta così $ sum_(k = 0)^n (-1)^k(x^(2k+1)/(2k+1!))+o(x^(2n+2))$ per $x->0$ (che è a tutti gli effetti il polinomio di Taylor di grado n del $sin(x)$ con resto di Peano in un intorno di 0) e quindi partendo da $k=0$ e fermandoti a $n=1$ avresti, $sin(x)=x-x^3/6+o(x^4)$. Ora, notando che $o(x^4)$ è anche $o(x^3)$, ottieni la formula di Taylor che hai ricavato prima.
Cosa intendi per
Come mai hai scritto $sin(1)=$? cosa volevi ricavare?
E cosa intendi per
.Comunque ascolta, credo di non aver capito qualche cosa:
ma perchè invece usando la formula dello sviluppo elementare del seno esce:$sin(x)=(-1)^n(x^(2n+1)/(2n+1!))+o(x^(2x+2))$
e quindi: $sin(1)=(-1)^1(x^3/(3!))+o(x^4)=-x^3/3+o(x^4)$
A $f'(x)$ la funzione seno non dovrebbe essere x?
Innanzitutto in $o(x^(2x+2))$ dovrebbe essere $x^(2n+2)$.
Poi questa formula dovrebbe essere se non ricordo male scritta così $ sum_(k = 0)^n (-1)^k(x^(2k+1)/(2k+1!))+o(x^(2n+2))$ per $x->0$ (che è a tutti gli effetti il polinomio di Taylor di grado n del $sin(x)$ con resto di Peano in un intorno di 0) e quindi partendo da $k=0$ e fermandoti a $n=1$ avresti, $sin(x)=x-x^3/6+o(x^4)$. Ora, notando che $o(x^4)$ è anche $o(x^3)$, ottieni la formula di Taylor che hai ricavato prima.
Cosa intendi per
sviluppo elementare del seno?
Come mai hai scritto $sin(1)=$? cosa volevi ricavare?
E cosa intendi per
A $f'(x)$ la funzione seno non dovrebbe essere x??
Si scusa ho sbagliato correggo subito...cmq il mio dubbio è: applicando la prima formula ottengo
$lim_(x->0) x -x^3/3 + o(x^3)$ e invece applicando la seconda $x - x^3/3 + o(x^(4)) $,
perche alla prima quando $k=1$ ottengo $x$ e invece nella seconda quando $k=1$ ottengo $-x^3/3$?
$lim_(x->0) x -x^3/3 + o(x^3)$ e invece applicando la seconda $x - x^3/3 + o(x^(4)) $,
perche alla prima quando $k=1$ ottengo $x$ e invece nella seconda quando $k=1$ ottengo $-x^3/3$?
Qualcuno è in grado di chiarire il mio dubbio perchè domani ho l'esame e non ho ancora capito questa cosa!!! 
Ora credo di aver capito, questo perchè le due formule sono imparentate ma non sono esattamente la stessa: la prima è quella generale che si applica a ogni $f(x)$, nel caso di $sin(x)$ però puoi notare che tutti i termini di posto pari sono $0$, quindi per "risparmiare" si può modificare la formula in modo da considerare solo gli addendi diversi da zero, che è quello che avviene quando consideri la seconda; se noti infatti è vero che $k$ continua a viaggiare tra $0$ e $n$ ma ovunque nella prima formula ci fosse solo $k$ ora trovi $2k+1$.
E' più chiaro così? In sostanza i due k non sono lo stesso..
E' più chiaro così? In sostanza i due k non sono lo stesso..
Si si ora è chiaro grazie mille per la tua spiegazione EnderWiggins 
E' stato un piacere.
[mod="gugo82"]@ el principe: Ti ricordo il regolamento, 3.4: [...] il forum è frequentato e animato da appassionati che non hanno nessun obbligo di risposta.
Quindi un "up" a distanza di 40 minuti ed esternazioni come questa:
(in questo post), per di più all'indirizzo di un membro dello staff, non depongono a tuo favore.
Uomo avvisato...[/mod]
Quindi un "up" a distanza di 40 minuti ed esternazioni come questa:
"el principe":
bè visto che hai letto il topic per dirmi di modificare il titolo potevi anche risp visto che stavi
(in questo post), per di più all'indirizzo di un membro dello staff, non depongono a tuo favore.
Uomo avvisato...[/mod]
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