Formula di Taylor
Ciao a tutti. Ho studiato il capitolo sulla formula di Taylor. Ci sono due cose che non mi sono chiare e sarei felice se me le spiegaste. La prima cosa è la dimostrazione che esiste una sola funzione di approssimazione tale che $f(x)=T_n(x) + o((x-x_0)^n) $ per $ x->x_0$ o meglio la prima parte di questa dimostrazione. La seconda è la dimostrazione del teorema di Taylor con il resto di Lagrange. Infine volevo sapere , quando in un limite decido di risolvere attraverso Taylor allora devo sostituire a ogni funzione l'equazione di Taylor corrispondente devo porre lo stesso grado di approssimazione per tutte le funzioni?
Risposte
Per la prima questione, ti propongo la seguente discussione : http://www.matematicamente.it/forum/unicita-del-polinomio-di-taylor-t51382.html
Non è facile dirlo a priori, dare un metodo. Spesso vedi a posteriori se è sufficiente un dato ordine o se avresti dovuto espandere di più.
Infine volevo sapere , quando in un limite decido di risolvere attraverso Taylor allora devo sostituire a ogni funzione l'equazione di Taylor corrispondente devo porre lo stesso grado di approssimazione per tutte le funzioni?
Non è facile dirlo a priori, dare un metodo. Spesso vedi a posteriori se è sufficiente un dato ordine o se avresti dovuto espandere di più.
grazie mille 
"AlexlovesUSA":
Infine volevo sapere , quando in un limite decido di risolvere attraverso Taylor allora devo sostituire a ogni funzione l'equazione di Taylor corrispondente devo porre lo stesso grado di approssimazione per tutte le funzioni?
Se ne è già parlato più volte, ti suggerisco di provare a cercare nel forum.
In particolare, ti rimando a questa discussione a cui avevi partecipato anche tu.
Buono studio.
Per quanto riguarda le cose precedenti non ci sono più problemi, grazie.
Adesso voglio fare un bel riassuntino per vedere se ho capito bene e se ho qualche dubbio.
1)Data un funzione $f:I->RR$ con I intervallo aperto e derivabile in $x_0 in I$ allora partendo dalla definizione di differenziale si arriva a definire un polinomio del tipo $T_n(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0) +...........(f^n(x_0))/(n!)(x-x_0)^n + o((x-x_0)^n)$ che è un'approssimazione della funzione nel punto $x_0$ in parole povere è la retta tangente al grafico di f in $x_0$.
2)La derivata del polinomio di Taylor di grado n è uguale al polinomio di Taylor di grado n-1.
3)Il polinomio di Taylor per una funzione è unico.
4) Per tovare il polinomio di Taylor delle funzioni elementari o di altre funzioni basta fare considerazioni sulla loro continuità e derivabilità fino ad un certo grado e poi applicare la formula.
5) Di formule di Taylor ce ne sono 2: a)quella con il resto di Peano che ci da un valore qualitativo del resto quindi dell'approssimazione in un intorno di $x_0$
b) quella con il resto di Lagrange ci dice quanto è questo errore e cioè è uguale alla parte n+1 della formula di Taylor
con Peano, se esiste la derivata n+1. Il polinomio di Taylor con il resto di Lagrange approssima il comportamento
della funzione nell'intero intervallo.
6) Consideriamo il polinomio di Taylor di primo grado. Se la funzione è al di sopra della retta allora è convessa altrimenti è concava nel punto $x_0$ Se la funzione attraversa la retta cambiando di segno allora $x_0$ è un punto di flesso o ascendente o discendente a seconda del segno.
7)Studiando il segno delle derivate possiamo determinare tutti i Massimi, minimi e flessi di una funzione:
Se la $f(x_0)=0$ allora $x_0$ è un punto critico. Facendo la derivta destra e sinistra capiamo se è un punto d massimo o di minimo.
Più facilmente si può fare studiando la derivata seconda. Se la dericvata seconda è maggiore di 0 è convessa altrimenti è concava.
Se la derivata seconda in $x_0$ è uguale a 0 allora dobbiamo studiare il segno della derivata seconda destra e sinistra.
Più facilmente se la funzione è derivabile tre volte troviamo la derivata terza in $x_0$. Se è maggiore di 0 allora è un flesso orizzontale ascendente altrimenti è discendente.
C'è una cosa che vorrei sapere, ma questi sono punti di flesso orizzontale ma per quelli verticali e obliqui come si fa?
Adesso voglio fare un bel riassuntino per vedere se ho capito bene e se ho qualche dubbio.
1)Data un funzione $f:I->RR$ con I intervallo aperto e derivabile in $x_0 in I$ allora partendo dalla definizione di differenziale si arriva a definire un polinomio del tipo $T_n(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0) +...........(f^n(x_0))/(n!)(x-x_0)^n + o((x-x_0)^n)$ che è un'approssimazione della funzione nel punto $x_0$ in parole povere è la retta tangente al grafico di f in $x_0$.
2)La derivata del polinomio di Taylor di grado n è uguale al polinomio di Taylor di grado n-1.
3)Il polinomio di Taylor per una funzione è unico.
4) Per tovare il polinomio di Taylor delle funzioni elementari o di altre funzioni basta fare considerazioni sulla loro continuità e derivabilità fino ad un certo grado e poi applicare la formula.
5) Di formule di Taylor ce ne sono 2: a)quella con il resto di Peano che ci da un valore qualitativo del resto quindi dell'approssimazione in un intorno di $x_0$
b) quella con il resto di Lagrange ci dice quanto è questo errore e cioè è uguale alla parte n+1 della formula di Taylor
con Peano, se esiste la derivata n+1. Il polinomio di Taylor con il resto di Lagrange approssima il comportamento
della funzione nell'intero intervallo.
6) Consideriamo il polinomio di Taylor di primo grado. Se la funzione è al di sopra della retta allora è convessa altrimenti è concava nel punto $x_0$ Se la funzione attraversa la retta cambiando di segno allora $x_0$ è un punto di flesso o ascendente o discendente a seconda del segno.
7)Studiando il segno delle derivate possiamo determinare tutti i Massimi, minimi e flessi di una funzione:
Se la $f(x_0)=0$ allora $x_0$ è un punto critico. Facendo la derivta destra e sinistra capiamo se è un punto d massimo o di minimo.
Più facilmente si può fare studiando la derivata seconda. Se la dericvata seconda è maggiore di 0 è convessa altrimenti è concava.
Se la derivata seconda in $x_0$ è uguale a 0 allora dobbiamo studiare il segno della derivata seconda destra e sinistra.
Più facilmente se la funzione è derivabile tre volte troviamo la derivata terza in $x_0$. Se è maggiore di 0 allora è un flesso orizzontale ascendente altrimenti è discendente.
C'è una cosa che vorrei sapere, ma questi sono punti di flesso orizzontale ma per quelli verticali e obliqui come si fa?
1) mi trovo con tutto, tranne che per il fatto della tangente.
il polinomio di questo tipo 'approssima' la $y=f(x)$. la retta tangente sarebbe una retta limite della funzione.
2)mi trovo.
3) mi trovo, aggiungi anche ''perchè è unica''
4)mi trovo.
5) $a$)formula di taylor con resto di peano: richiama il teorema di lagrange: $f(x)=f(x_0)+f'((x)(x-x_0))$ cioè conoscendo un numero abbastanza alto di derivate di $f$ in $x_0$, si può approssimare sempre meglio la $f$ in un intorno di $0$.
$b$) formula di taylor con il resto di lagrange: quantitativamente ci fa sapere l'errore commesso nell'approssimazione della $f$
6)credo che tu parla della concavità di una curva.
$f''(x)<0$ concava verso il basso
$f''(x)>0$ concava verso l'alto
7)(Questo argomento lo sto ripetendo anche io in questi giorni xD)
$f'(x)=0$ si trovono i punti critici (possono essere stazionari se la funzione di partenza è costante su tutto un intervallo)
di massimo o di minimo (poi bisognerebbe capire se sono assoluti o relativi, se sono assoluti possono essere relativi ma non viveversa)
$f'(x)>0$ crescente
$f'(x)<0$ decrescente
da li si vede se per esempio $x_0$ è di massimo o di minimo.
$f''(x)=0$ serve per determinare i flessi
$f''(x)<0$ concavità verso il basso
$f''(x)>0$ concavità verso l'alto
il polinomio di questo tipo 'approssima' la $y=f(x)$. la retta tangente sarebbe una retta limite della funzione.
2)mi trovo.
3) mi trovo, aggiungi anche ''perchè è unica''
4)mi trovo.
5) $a$)formula di taylor con resto di peano: richiama il teorema di lagrange: $f(x)=f(x_0)+f'((x)(x-x_0))$ cioè conoscendo un numero abbastanza alto di derivate di $f$ in $x_0$, si può approssimare sempre meglio la $f$ in un intorno di $0$.
$b$) formula di taylor con il resto di lagrange: quantitativamente ci fa sapere l'errore commesso nell'approssimazione della $f$
6)credo che tu parla della concavità di una curva.
$f''(x)<0$ concava verso il basso
$f''(x)>0$ concava verso l'alto
7)(Questo argomento lo sto ripetendo anche io in questi giorni xD)
$f'(x)=0$ si trovono i punti critici (possono essere stazionari se la funzione di partenza è costante su tutto un intervallo)
di massimo o di minimo (poi bisognerebbe capire se sono assoluti o relativi, se sono assoluti possono essere relativi ma non viveversa)
$f'(x)>0$ crescente
$f'(x)<0$ decrescente
da li si vede se per esempio $x_0$ è di massimo o di minimo.
$f''(x)=0$ serve per determinare i flessi
$f''(x)<0$ concavità verso il basso
$f''(x)>0$ concavità verso l'alto
"AlexlovesUSA":
$T_n(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0) +...........(f^n(x_0))/(n!)(x-x_0)^n + o((x-x_0)^n)$ che è un'approssimazione della funzione nel punto $x_0$ in parole povere è la retta tangente al grafico di f in $x_0$.
$T_n(x) = f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0) + o((x - x_0))$ L'approssimazione al prim'ordine è la retta tangente.
$T_n(x) = f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0) + (f''(x_0))/(2!) ( x - x_0 )^2 + o((x - x_0)^2)$ è una parabola... (purché $(f''(x_0))/(2!) != 0$ )
E così via...
Una domanda
posso mettere a posto di $T_n(x)$ un $f(x)$ generico?
posso mettere a posto di $T_n(x)$ un $f(x)$ generico?
"clever":
Una domanda
posso mettere a posto di $T_n(x)$ un $f(x)$ generico?
Beh, certo. $T_n(x)$ sta solo ad indicare che si tratta del polinomio di Taylor di ordine $n$.
In effetti, per essere coerenti, bisognerebbe scrivere
$f(x) = T_n(x) + R_n(x)$
Dove $f(x)$ è la funzione che si intende approssimare; $T_n(x)$ è il polinomio di Taylor, ovvero:
$T_n(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0) + ... + (f^n(x_0))/(n!)(x-x_0)^n$ ;
e $R_n(x)$ è il resto n-imo. $R_n(x) = o( ( x - x_0)^n )$
sarebbe questo il teorema di taylor con il resto di lagrange?
Scusate per il fatto della tangente, mi sono confuso con il discorso della derivata, questa è la retta passante per $x_0$ 
Per le altre cose va bene, adesso sto iniziando a fare il ripasso degli integrali, propri e impropri, così mi resta una bella settimana perdedicarmi agli esercizi........Giorno 18 ho lo scritto 
P.S. a proposito ragazzi, quando ho una funzione e determino il suo dominio, come faccio a sapere se quella funzione è derivabile nel dominio e fino a che grado lo è?
Per le altre cose va bene, adesso sto iniziando a fare il ripasso degli integrali, propri e impropri, così mi resta una bella settimana perdedicarmi agli esercizi........Giorno 18 ho lo scritto P.S. a proposito ragazzi, quando ho una funzione e determino il suo dominio, come faccio a sapere se quella funzione è derivabile nel dominio e fino a che grado lo è?
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