Formula di Taylor.

[galles90]

Buongiorno,

Sto leggendo il capitolo inerente alla formula di Taylor, in particolare, c'è un passaggio che non mi è chiaro sul polinomio di Taylor.
Vi riporto il polimio di Taylor in $x_0$ di ordine $n$ di $p(x)$

A) $p(x)=p(x_0) + (p'(x_0))/(1!)(x-x_0)+(p''(x_0))/(2!)(x-x_0)^2+...+(p^n(x_0))/(n!)(x-x_0)^n$

Allora, il passaggio che non mi è molto chiaro è: come posso ricavarmi il polinomio $p(x)$ come sta scritto sopra ?
Mi sono dato una risposta, dal Teorema di Lagrange, cioè, riporto per correttezza il l'enunciato del teorema di Lagrange.

Sia $f$ continua in $[a,x]$ è derivabile in $]a,x[$, allora esiste un punto $x_0 in ]a,x[$ tale che

$(f(x)-f(a))/(x-a)=f'(x_0).$

Il punto dove sono incerto è questo, tipo, come posso ricavarmi il termine $(p''(x_0))/(2!)(x-x_0)^2$
dovrei applicare il teorema di Lagrange su un intervallo "infinitesimo" del tipo $]x-x_0[$ ?

Spero di essere stato chiaro nel porre la domanda sul mio problema, ciao.

[Bokonon]

Vuoi sapere come si arriva allo sviluppo della serie di Taylor?
...perchè Lagrange non c'entra nulla

[gugo82]

Non sei stato chiaro.

Ad ogni buon conto, il polinomio di Taylor di ordine $n$ centrato in $x_0$ (denotiamolo con $T_n (x;x_0)$) è caratterizzato dalla seguente proprietà:

Siano $f:(a,b) -> RR$ derivabile $n$ volte in $(a,b)$, $x_0 in (a,b)$ e $p$ un polinomio di grado $<= n$.
Risulta:
\[
\begin{cases}
p(x_0) = f(x_0) \\
p^\prime (x_0) = f^\prime (x_0) \\
p^{\prime \prime} (x_0) = f^{\prime \prime}(x_0) \\
\qquad \vdots \\
p^{(n)}(x_0) = f^{(n)}(x_0)
\end{cases}
\]
se e solo se $p(x) = T_n (x;x_0)$.

Dunque il polinomio di Taylor di ordine $n$ è caratterizzato dall’avere le prime $n$ derivate in $x_0$ coincidenti con quelle di $f$.

[galles90]

Grazie per le risposte : )

"Bokonon":Vuoi sapere come si arriva allo sviluppo della serie di Taylor?

Si, del polinomio di Taylor

"Bokonon":...perchè Lagrange non c'entra nulla

su un sito internet, è presente la dimostrazione di come si ricava il polinomio di Taylor, sfruttando proprio il teorema di Lagrange se vuoi ti mando il link in privato

"gugo82":
Dunque il polinomio di Taylor di ordine $ n $ è caratterizzato dall’avere le prime $ n $ derivate in $ x_0 $ coincidenti con quelle di $ f $.

Si gugo82, cioè quello che mi stai dicendo che le $f,p$ ha un contatto di ordine $n$ in $x_0$, sul libro Pagani-Salsa, ho capito, leggendo di nuovo ho capito il procedimento, quello che scrivo è in diretta

Consideriamo $f:(a,b) to mathbb{R}$ derivabile in $x_0 in (a,b)$ e sia $x in (a,b)$ quindi possiamo riscrivere

$f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+o(x-x_0)$ per $x to x_0.$

se considero il polinomio $T_1(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+o(x-x_0)$ possiamo dire che in un intorno di $x_0$ il polinomio $T_1$ approsima $f$, con la seguente proprietà

$T_1(x_0)=f(x_0) \ qquad T'_1(x_0)=f'(x_0)$

la quale si traduce dicendo che $f, T$ hanno un contatto di ordine $1$ in $x_0.$

Quindi in generale si ha per definizione

Siano $f,g$ $: (a,b) to mathbb{R}$ si dice che hanno un contatto di ordine $n$ in $x_0$ se $f,g$ sono derivabile $n$ volte in $x_0$ e se vale

$f^((k))=g^((k)) \qquad forall k=0,1,...,n$

Ovviamente, più alto è il valore di $n$ è migliore sarà l'approssimazione di $f$ in $x_0$, quindi dobbiamo determinare un polinomio $T_n$ di grado $n$, il quale abbia un contatto di ordine $n$ con $f$ in un intorno di $x_0$.
Quindi per determinare un polinomio di questo tipo, possiamo prendere spunto dal caso $n=1$, inoltre, dalla definizione sudetta si ha il polinomio nella seguente forma:

$T_n=a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)^2+a_3(x-x_0)^3+...+a_n(x-x_0)^n$

P.S. gugo82 il libro mi ha salvato

[galles90]

Qualche risposta positiva o negetiva ?

[Bokonon]

"galles90":
su un sito internet, è presente la dimostrazione di come si ricava il polinomio di Taylor, sfruttando proprio il teorema di Lagrange se vuoi ti mando il link in privato

Prob. si può fare ricorsivamente ma mi pare un metodo più utile per la dimostrazione formale che pratico.
E come oramai sanno tutti, io sono pratico
Infatti (senza pretesa che sia una dimostrazione), l'idea di Taylor è piuttosto semplice.
Prendiamo una funzione $f(x)$ derivabile n volte in un punto $x_0$ e pretendiamo che esista un polinomio tale che:
$f(x)=sum_(n=0)^(oo) a_n(x-x_0)^n$ e ci chiediamo chi possano essere i vari coefficienti $a_n$
Facciamone le prime n derivate e scrivo solo la n-esima.
$f^n(x)=1*2*3*...*(n-1)*n*a_n(x-x_0)^(n-n)+blah=n!*a_n+blah$
dove $blah$ sono tutti termini del tipo $a_?(x-x_0)^(?)$
Per $x->x_0$ tutti i termini di $blah$ vanno a zero e abbiamo $f^n(x_0)=n!*a_n$ da cui $a_n=(f^n(x_0))/(n!)$
Sostituendo abbiamo che $f(x)=sum_(n=0)^(oo) (f^n(x_0))/(n!)(x-x_0)^n$
Tradotto, nell'intorno di $x_0$ possiamo approssimare la nostra $f(x)$ con un polinomio grande a piacere.

Adesso Gugo mi urla contro

[gugo82]

"Bokonon":
Tradotto, nell'intorno di $x_0$ possiamo approssimare la nostra $f(x)$ con un polinomio grande a piacere.

Adesso Gugo mi urla contro

Non urlo… Per una pacchianata così grande non ce n’è bisogno.

Basta far notare che la liscissima funzione $f$ definita in $RR$ ponendo:
\[
f(x) := \begin{cases} e^{-1/x} & \text{, se } x > 0 \\ 0 & \text{, altrimenti} \end{cases}
\]
non si può approssimare con alcun polinomio intorno a $0$.

[Bokonon]

@Gugo
Bella forza! $T_n (x;x_0)$ è sempre una funzione analitica quindi non può convergere ad una funzione che non lo è.

[gugo82]

"Bokonon":@Gugo
Bella forza! $T_n (x;x_0)$ è sempre una funzione analitica quindi non può convergere ad una funzione che non lo è.

Motivazione circolare… Per mostrare che $f$ non è analitica intorno a $0$ devi provare proprio che $T_n(x;0) $ non converge ad $f(x)$.