Formula di taylor
So che la formula di taylor permette di approssimare localmente una funzione $ f(x) $ con un polinomio $ T(x) $ .
Ora mi pare che,scelto un intorno di un punto Xo in cui f è definita e continua, è possibile ottenere un'approssimazione della funzione in tale intorno mediante la formula di taylor: dal momento che si tratta comunque di un'approssimazione è logico introdurre un errore che mi dice quanto la mia approssimazione differisce dalla funzione reale : tale errore commesso nell'approssimazione viene chiamato Resto di peano ed è rappresentato sinteticamente dal simbolo di o-piccolo: ci fornisce una misura qualitativa dell'errore.
dunque mi vengono spontanee alcune considerazioni:
1) mi pare che aumentando l'ordine del nostro polinomio , l'intorno del punto Xo in cui f(x) è approssimabile in modo soddisfacente(cioè con un errore minimo,tendente a zero) con P(x) aumenti: perciò da un punto di vista prettamente teorico, se io mi costruissi un polinomio di taylor calcolato in un punto Xo all'ordine $ nrarr oo $ (se cioè considerassi la serie corrispondente,posto che esistano tutte le derivate di f(x) in Xo) avrei che l'intorno di Xo in cui f(x) è approssimabile in modo soddisfacente con il polinomio di taylor si è ingrandito a tal punto da ricoprire tutto il dominio della funzione,tutto R(asse x) se la funzione ad esempio è l'esponenziale. CIoè l'intorno in cui l'errore che si commette nel sostituire f(x) con P(x) è minimo,tendente a zero, è diventato tutto l'asse x
Ovviamente ciò è un discorso solo teorico perche è impossibile arrivare all'ordine $ nrarr oo $.
2) il polinomio di taylor P(x) calcolato in Xo corrisponde a un'approssimazione esatta di f(x) solo per il punto Xo?? cioè l'unico punto in cui P(Xo)=f(xo) in MODO ESATTO è il punto Xo, ovvero il punto in cui è "incentrato" il polinomio? per tutti gli altri punti,il polinomio fornisce solo valori approssimati,aventi comunque un certo grado di errore,che aumenta all'allontanarsi dal punto Xo (punto in cui è stato calcolato il polinomio).
é corretto ciò che ho detto in 1) e 2) ??
grazie!!!
Ora mi pare che,scelto un intorno di un punto Xo in cui f è definita e continua, è possibile ottenere un'approssimazione della funzione in tale intorno mediante la formula di taylor: dal momento che si tratta comunque di un'approssimazione è logico introdurre un errore che mi dice quanto la mia approssimazione differisce dalla funzione reale : tale errore commesso nell'approssimazione viene chiamato Resto di peano ed è rappresentato sinteticamente dal simbolo di o-piccolo: ci fornisce una misura qualitativa dell'errore.
dunque mi vengono spontanee alcune considerazioni:
1) mi pare che aumentando l'ordine del nostro polinomio , l'intorno del punto Xo in cui f(x) è approssimabile in modo soddisfacente(cioè con un errore minimo,tendente a zero) con P(x) aumenti: perciò da un punto di vista prettamente teorico, se io mi costruissi un polinomio di taylor calcolato in un punto Xo all'ordine $ nrarr oo $ (se cioè considerassi la serie corrispondente,posto che esistano tutte le derivate di f(x) in Xo) avrei che l'intorno di Xo in cui f(x) è approssimabile in modo soddisfacente con il polinomio di taylor si è ingrandito a tal punto da ricoprire tutto il dominio della funzione,tutto R(asse x) se la funzione ad esempio è l'esponenziale. CIoè l'intorno in cui l'errore che si commette nel sostituire f(x) con P(x) è minimo,tendente a zero, è diventato tutto l'asse x
Ovviamente ciò è un discorso solo teorico perche è impossibile arrivare all'ordine $ nrarr oo $.
2) il polinomio di taylor P(x) calcolato in Xo corrisponde a un'approssimazione esatta di f(x) solo per il punto Xo?? cioè l'unico punto in cui P(Xo)=f(xo) in MODO ESATTO è il punto Xo, ovvero il punto in cui è "incentrato" il polinomio? per tutti gli altri punti,il polinomio fornisce solo valori approssimati,aventi comunque un certo grado di errore,che aumenta all'allontanarsi dal punto Xo (punto in cui è stato calcolato il polinomio).
é corretto ciò che ho detto in 1) e 2) ??
grazie!!!
Risposte
scusa ma il mio dubbio era sorto guardando questa immagine: http://it.wikipedia.org/wiki/Serie_di_T ... Sintay.svg
questa immagine mostra la funzione $ f(x) =senx $ ....e mostra i polinomi di taylor $ T(x) $ aventi di ordine n rispettivamente 1(la retta),3,5,7,9,11.
Questi polinomi sono centrati(calcolati) per comodità in 0,dunque si parla piu propriamente di McLaurin ma poco cambia.
DAlla figura sembra che all'aumentare dell'ordine n del polinomio di tayolr approssimante la funzione in un intorno del punto Xo=0, aumenti anche l'intorno di Xo che puo essere approssimato con il polinomio di taylor.
Cioè si vede come all'aumentare di "n" l 'intorno del punto Xo per cui il polinomio di taylor T(x) è una buona approssimazione di f(x) (cioè l'errore è minimo) aumenta.
questa immagine mostra la funzione $ f(x) =senx $ ....e mostra i polinomi di taylor $ T(x) $ aventi di ordine n rispettivamente 1(la retta),3,5,7,9,11.
Questi polinomi sono centrati(calcolati) per comodità in 0,dunque si parla piu propriamente di McLaurin ma poco cambia.
DAlla figura sembra che all'aumentare dell'ordine n del polinomio di tayolr approssimante la funzione in un intorno del punto Xo=0, aumenti anche l'intorno di Xo che puo essere approssimato con il polinomio di taylor.
Cioè si vede come all'aumentare di "n" l 'intorno del punto Xo per cui il polinomio di taylor T(x) è una buona approssimazione di f(x) (cioè l'errore è minimo) aumenta.
Alcune delle tue congetture non sono vere. Guarda questo esempio, tanto per dare una idea:
http://www.batmath.it/matematica/a_taylor/pg8.htm
http://www.batmath.it/matematica/a_taylor/pg8.htm
cioè ma in genere(almeno per le funzioni elementari seno,coseno,ln,,log ecc,senza cercare casi particolari ) mi sembra corretto dire che all'aumentare dell'ordine n del polinomio di taylor aumenta l'intorno del punto Xo per cui il polinomio T(x) costituisce una buona approssimazione per la funzione f(x)
cioè ho provato ora considerando lo sviluppo di mclaurin dell'esponenziale al primo ordine:
$ e^x=1+x $
poi quello al second ordine
$ e^x=1+x+x^2/2 $
e infine quello al terzo ordine
$ e^x=1+x+x^2/2+x^3/6 $
mi sono poi calcolato il valore esatto con la calcolatrice di $ e^0.2 =1.221402758 $
e poi mi sono calcolato T(0,2) per ogni polinomio di mclautin centrato in Xo=0 trovando:
primo ordine: $ T(0,2)= 1,2 $
secondo ordine: $ T(0,2)= 1,201333333 $
terzo ordine: $ T(0,2)= 1,2213333 $
insomma all'aumentare dell'ordine aumenta la precisione del polinomio T(x) di un punto vicino a Xo=0
Inoltre se ad esempio considerassi un punto sufficientemente lontano a Xo=0 come ad esempio X=2,5 avrei che il risultato T(2,5) al primo ordine sia molto distante dal valore effettivo calcolato con la calcolatrice e^2.5
Ma se aumentassi molto l'ordine del polinomio di mclaurin avrei un risultato T(2,5) circa simile a e^2.5....o in altri termini l'intorno di Xo=0 per il quale il mio T(x) offre un'approssimazione buona di f(x)= e^x aumenta all'aumentare dell'ordine stesso del polinomio....cioè se mi allontano un po' da Xo=0 avrò comunque dei risultati approssimanti accettabili se l'ordine di T(x) è sufficeintemente elevato.
cioè ho provato ora considerando lo sviluppo di mclaurin dell'esponenziale al primo ordine:
$ e^x=1+x $
poi quello al second ordine
$ e^x=1+x+x^2/2 $
e infine quello al terzo ordine
$ e^x=1+x+x^2/2+x^3/6 $
mi sono poi calcolato il valore esatto con la calcolatrice di $ e^0.2 =1.221402758 $
e poi mi sono calcolato T(0,2) per ogni polinomio di mclautin centrato in Xo=0 trovando:
primo ordine: $ T(0,2)= 1,2 $
secondo ordine: $ T(0,2)= 1,201333333 $
terzo ordine: $ T(0,2)= 1,2213333 $
insomma all'aumentare dell'ordine aumenta la precisione del polinomio T(x) di un punto vicino a Xo=0
Inoltre se ad esempio considerassi un punto sufficientemente lontano a Xo=0 come ad esempio X=2,5 avrei che il risultato T(2,5) al primo ordine sia molto distante dal valore effettivo calcolato con la calcolatrice e^2.5
Ma se aumentassi molto l'ordine del polinomio di mclaurin avrei un risultato T(2,5) circa simile a e^2.5....o in altri termini l'intorno di Xo=0 per il quale il mio T(x) offre un'approssimazione buona di f(x)= e^x aumenta all'aumentare dell'ordine stesso del polinomio....cioè se mi allontano un po' da Xo=0 avrò comunque dei risultati approssimanti accettabili se l'ordine di T(x) è sufficeintemente elevato.
Ma questo vale per il tuo esperimento con la funzione esponenziale. Mica per tutte le funzioni. Non generalizzare a occhio. Spulcia un po' il sito di batmath, la lezione sullo sviluppo di Taylor è fatta benissimo. (Più in generale è tutto il sito ad essere fatto benissimo)
Mi riferisco a questa lezione:
http://www.batmath.it/matematica/a_taylor/taylor.htm
Mi riferisco a questa lezione:
http://www.batmath.it/matematica/a_taylor/taylor.htm
grazie per il link...lo leggero attentamente e poi se dovessi avere domande/conssiderazioni le faro qui 
guardando il link dice come per funzioni elementari all'aumentare dell'ordine del polinomio di taylor/mclaurin calcolato in Xo si ha un aumento dell'intorno di Xo in cui T(x) approssima in modo efficace T(x) e al contempo aumenta la precisione di uno stesso punto di quell'intorno all'aumentare di n.
Per funziono un po' piu complesse invece ciò non è sempre vero: talvolta all'aumentare dell'ordine del polinomio centrato in Xo si ha che l'intorno di Xo in cui è buona l'approssimazione di f(x) con T(x) aumenta fino a un certo "valore" per poi non aumentare piu ,anche se si aumenta di molto l'ordine.
In altre l'intorno diminuisce se si aumenta n.
Dunque in generale quale posso dire sia l'effetto di aumentare l'ordine n del polinomio di taylor calcolato in Xo se non è sempre vero che all'aumentare di Xo aumenti la precisione e le dimensioni dell'intorno di Xo in cui T(x) costituisce un'approssimazione soddisfacente di f(x)??
grazie:),
Per funziono un po' piu complesse invece ciò non è sempre vero: talvolta all'aumentare dell'ordine del polinomio centrato in Xo si ha che l'intorno di Xo in cui è buona l'approssimazione di f(x) con T(x) aumenta fino a un certo "valore" per poi non aumentare piu ,anche se si aumenta di molto l'ordine.
In altre l'intorno diminuisce se si aumenta n.
Dunque in generale quale posso dire sia l'effetto di aumentare l'ordine n del polinomio di taylor calcolato in Xo se non è sempre vero che all'aumentare di Xo aumenti la precisione e le dimensioni dell'intorno di Xo in cui T(x) costituisce un'approssimazione soddisfacente di f(x)??
grazie:),
"xshadow":
Dunque in generale quale posso dire sia l'effetto di aumentare l'ordine n del polinomio di taylor calcolato in Xo se non è sempre vero che all'aumentare di Xo aumenti la precisione e le dimensioni dell'intorno di Xo in cui T(x) costituisce un'approssimazione soddisfacente di f(x)??
[size=85](Premetto di aver seguito all'università - frequento il Politecnico di Torino, se vi interessa - la lezione sugli sviluppi di Taylor circa un'ora fa, e raccomando pertanto di non prendere quanto affermo per legge)[/size]
Ritengo che l'effetto sia quello di riuscire, dato un certo intorno del punto $x_0$, ad approssimare con sempre maggior precisione il comportamento della funzione in tale intorno attraverso una funzione polinomiale, e dunque essere in grado di analizzarlo propriamente senza dover studiare esattamente la funzione di partenza (la quale, presumibilmente, è parecchio complicata).
si ma quando ad esempio calcoli taylor per l'esponenziale centrato in Xo=0 qual è l'intorno che tu dici che si sta studiando?
non esiste un intorno univoco di Xo quando si dice "che studiamo il polinomio di taylor in un intorno Xo."...gli intorni di Xo sono infiniti
inoltre per certe funzioni particolari(come mi ha fatto notare un altro utente grazie al link del sit di bathmath) succede che all'aumentare dell'ordine "n" l'intorno in cui f(x) è approssimabile in modo apprezzabile (commettendo un piccolo errore)con T(x) calcolata in Xo diminuisce invece che aumentare,ovvero all'aumentare di n diminuisce la precisione con cui si approssima f(x) nell'intorno di Xo
e per intorno cosa intendi? un intervallo contenente Xo sufficientemente piccolo o un qualsiasi intervallo aperto contenente Xo(definizione mi pare corretta)
non esiste un intorno univoco di Xo quando si dice "che studiamo il polinomio di taylor in un intorno Xo."...gli intorni di Xo sono infiniti
inoltre per certe funzioni particolari(come mi ha fatto notare un altro utente grazie al link del sit di bathmath) succede che all'aumentare dell'ordine "n" l'intorno in cui f(x) è approssimabile in modo apprezzabile (commettendo un piccolo errore)con T(x) calcolata in Xo diminuisce invece che aumentare,ovvero all'aumentare di n diminuisce la precisione con cui si approssima f(x) nell'intorno di Xo
e per intorno cosa intendi? un intervallo contenente Xo sufficientemente piccolo o un qualsiasi intervallo aperto contenente Xo(definizione mi pare corretta)
"xshadow":
si ma quando ad esempio calcoli taylor per l'esponenziale centrato in Xo=0 qual è l'intorno che tu dici che si sta studiando?
Fermo
Se prendi, per esempio, lo sviluppo di Maclaurin di $e^x$, si ha (calcolando il resto nella forma di Peano e ponendo $n=5$) $f(x) = 1 + x + x^2/2 + x^3/6 + x^4/24 + x^5/120 + o(x^6)$. Se valuti il comportamento di questa funzione in 0, hai che il suo limite, per $x \to 0$, tende ad 1, come fa anche quello di $e^x$; ma, se valuti il suo comportamento nel punto $x_1 = 1$, ottieni che $f(1) = 1 + 1 + 1/2 + 1/6 + 1/24 + 1/120 + o(x^6) = 2,716666667 + o(x^6)$, mentre $e^1 = e = 2,7182818$. Il "resto del polinomio" è, in effetti, proprio lo scarto che, in un generico punto arbitrariamente vicino al punto in cui stai approssimando, separa il valore del polinomio di Taylor da quello della funzione che stai approssimando. Ciò vuol dire che il polinomio approssima la funzione, a ben vedere, in tutto il suo dominio; quanto precisamente esso la approssimi, dipende dalla singola funzione: come hai giustamente notato, alcune funzioni, al crescere di $n$, vengono approssimate con sempre maggior precisione in intervalli sempre più ampi (fermo restano che la massima precisione si ha nel punto prescelto per l'approssimazione), mentre altre, al crescere di $n$, vedono restringersi l'intervallo in cui sono approssimate con precisione "abbastanza" grande.
"xshadow":
e per intorno cosa intendi?
Da probo studente di ingegneria, impiego i termini secondo il loro esatto significato: dicesi intorno di raggio $r$ di un certo punto $x_0 in R$ l'intervallo aperto e limitato $(x_0-r, x_0+r)$.
ok,buona parte delle cose le condivido in effetti...l'unica cosa che ancora mi turba è il senso del calcolo del polinomio di taylor(facciamo mc laurin per comodità) di un ordine maggiore di 1, per tutte quelle funzioni in cui si verifica che all'aumentare del grado del polinomio approsimant si ha un peggioramento dell'approssimazione stesse nell'intorno del punto..
Nel caso in cui l'approssimazione peggiori all'aumentare di "n" qual è il senso di calcolare un polinomio di ordine maggiore di 1,dato che quello di ordine 1 rappresenterebbe la migliore approssimazione di f(x) ?
inoltre questa diminuzione di approssimazione all'aumentare di "n" riguarda solo i punti molto distanti da Xo o anche quelli vicini(costituenti un intorno "infinitesimo" di Xo)? mi chiedo cio se all'aumentare di n peggiorino in termini di qualità di approssimazione oltre ai punti distanti da Xo anche quelli vicini a Xo,oppure in realtà quelli vicini,migliorano comuqnque all'aumentare di n??
grazie: )
Nel caso in cui l'approssimazione peggiori all'aumentare di "n" qual è il senso di calcolare un polinomio di ordine maggiore di 1,dato che quello di ordine 1 rappresenterebbe la migliore approssimazione di f(x) ?
inoltre questa diminuzione di approssimazione all'aumentare di "n" riguarda solo i punti molto distanti da Xo o anche quelli vicini(costituenti un intorno "infinitesimo" di Xo)? mi chiedo cio se all'aumentare di n peggiorino in termini di qualità di approssimazione oltre ai punti distanti da Xo anche quelli vicini a Xo,oppure in realtà quelli vicini,migliorano comuqnque all'aumentare di n??
grazie: )
Prima di risponderti, vorrei premettere un dettaglio fondamentale che temo ti sia sfuggito: gli sviluppi di Taylor trovano applicazione nello studio locale di una funzione, cioè nell'analisi approssimata del suo comportamento in un un certo intorno (non definito a priori) di un certo suo punto.
Ora, sulla base di questa premessa, cercherò di risponderti nel miglior modo possibile
I polinomi di Taylor, visto quanto premesso sopra, sono largamente applicati nel calcolo dei limiti.
Non è raro che le funzioni da studiare contengano potenze relativamente elevate della variabile indipendente; ciò vuol dire che, per poter approssimare la funzione con i polinomi di Taylor (supponendo un approccio basato sull'individuazione, all'interno della funzione, di quelle parti associabili a funzioni elementari, e dunque sostituibili adeguatamente dagli sviluppi di queste ultime... un approccio basato sul calcolo effettivo del polinomio della funzione originale sarebbe, in molti casi, impensabile), occorre svilupparli fino a potenze superiori a quelle già contenute nella funzione (altrimenti, si corre il rischio di ottenere un'approssimazione scorretta). Dunque, in tal caso, visto che ciò che conta è il compimento dello studio locale della funzione, non importa quanto precise siano le approssimazioni ottenute con i polinomi: essi garantiscono, in ogni caso, l'esistenza di un certo intorno del punto d'interesse in cui si comporteranno in modo ragionevolmente simile alla funzione originale, e tanto basta.
Suppongo che questo dipenda dalla singola funzione che si sta studiando... ti proporrei, per trovare tu stesso una risposta a questa tua domanda, di analizzare tu stesso alcune funzioni, ed osservare così come si comportano: otterresti sicuramente una risposta più convincente delle mie supposizioni
Spero di essere stato chiaro e di non aver commesso errori: stamattina mi sono svegliato presto, e tra pochi minuti partirò per un viaggio di ben 1400km (e non so quante ore
)...
Ora, sulla base di questa premessa, cercherò di risponderti nel miglior modo possibile
"xshadow":
ok,buona parte delle cose le condivido in effetti...l'unica cosa che ancora mi turba è il senso del calcolo del polinomio di taylor(facciamo mc laurin per comodità) di un ordine maggiore di 1, per tutte quelle funzioni in cui si verifica che all'aumentare del grado del polinomio approsimant si ha un peggioramento dell'approssimazione stesse nell'intorno del punto..
Nel caso in cui l'approssimazione peggiori all'aumentare di "n" qual è il senso di calcolare un polinomio di ordine maggiore di 1,dato che quello di ordine 1 rappresenterebbe la migliore approssimazione di f(x) ?
I polinomi di Taylor, visto quanto premesso sopra, sono largamente applicati nel calcolo dei limiti.
Non è raro che le funzioni da studiare contengano potenze relativamente elevate della variabile indipendente; ciò vuol dire che, per poter approssimare la funzione con i polinomi di Taylor (supponendo un approccio basato sull'individuazione, all'interno della funzione, di quelle parti associabili a funzioni elementari, e dunque sostituibili adeguatamente dagli sviluppi di queste ultime... un approccio basato sul calcolo effettivo del polinomio della funzione originale sarebbe, in molti casi, impensabile), occorre svilupparli fino a potenze superiori a quelle già contenute nella funzione (altrimenti, si corre il rischio di ottenere un'approssimazione scorretta). Dunque, in tal caso, visto che ciò che conta è il compimento dello studio locale della funzione, non importa quanto precise siano le approssimazioni ottenute con i polinomi: essi garantiscono, in ogni caso, l'esistenza di un certo intorno del punto d'interesse in cui si comporteranno in modo ragionevolmente simile alla funzione originale, e tanto basta.
"xshadow":
inoltre questa diminuzione di approssimazione all'aumentare di "n" riguarda solo i punti molto distanti da Xo o anche quelli vicini(costituenti un intorno "infinitesimo" di Xo)? mi chiedo cio se all'aumentare di n peggiorino in termini di qualità di approssimazione oltre ai punti distanti da Xo anche quelli vicini a Xo,oppure in realtà quelli vicini,migliorano comuqnque all'aumentare di n??
Suppongo che questo dipenda dalla singola funzione che si sta studiando... ti proporrei, per trovare tu stesso una risposta a questa tua domanda, di analizzare tu stesso alcune funzioni, ed osservare così come si comportano: otterresti sicuramente una risposta più convincente delle mie supposizioni
Spero di essere stato chiaro e di non aver commesso errori: stamattina mi sono svegliato presto, e tra pochi minuti partirò per un viaggio di ben 1400km (e non so quante ore
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