Formula di stirling
Studiando la dimostrazione della formula di Stirling mi sono imbattuto nel seguente passaggio $\int_{0}^{infty} x^(n) e^(-x)dx=n!$
Il libro non lo dimostra ed io sarei curioso di sapere come si fa.Mi potete aiutare? Ho pensato che si poteva fare per induzione ,lo dimostro per n=1,poi per n=2,(tanto l'integrale indefinito é semplice)ma poi? boooo, non saprei...
Il libro non lo dimostra ed io sarei curioso di sapere come si fa.Mi potete aiutare? Ho pensato che si poteva fare per induzione ,lo dimostro per n=1,poi per n=2,(tanto l'integrale indefinito é semplice)ma poi? boooo, non saprei...
Risposte
Puoi esprimere il tuo integrale in forma ricorsiva. Per [tex]n\in \mathbb{N}[/tex] chiamiamo [tex]I_n = \int_0 ^\infty x^n e ^ {-x}\,dx[/tex]. Integrando per parti si ottiene subito la relazione [tex]I_n = n I_{n-1}[/tex]; ci serve un dato iniziale e conviene prendere [tex]I_0=1[/tex]. A questo punto è chiaro che [tex]I_n = n![/tex].
Ho capito ,grazie mille!Era molto più semplice di quanto pensassi!
Il problema è risolto, comunque vorrei spendere qualche parola in più.
Come puoi vedere qui (http://it.wikipedia.org/wiki/Funzione_gamma) l'integrale che hai usato tu è esattamente il valore di $\Gamma(n+1)$. Probabilmente per questo il passaggio che tu chiedevi è stato passato sotto gamba, visto che è "noto" in matematica. La funzione $Gamma$, tra le tante cose che fa, interpola il fattoriale sui numeri complessi: ossia è tale che $Gamma(x+1)=x!$ per ogni $x\in\NN$ (ma ha senso parlare di $Gamma$ per ogni $z\in CC\setminus\{-1,-2,..\}$). La dimostrazione è esattamente quella che hai fatto tu. Probabilmente ti troverai prima o poi ad utilizzarla, e allora la definirai per bene. Sottolineo che è importante ragionare come hai fatto tu, dal momento che non vale appellarsi alle proprietà della funzione $Gamma$ per provare che quell'integrale fa quel numero, visto che è in un certo senso "più ordinato" fare come hai fatto tu. Bisogna vedere un po' qual è la relazione d'ordine..però almeno come maturazione dei concetti, la $Gamma$ è un po' successiva alla formula di Stirling. E del resto la dimostrazione delle sue proprietà è semplice, come hai visto. Ti suggerisco anche un librettino di Artin "the Gamma function" o qualcosa di simile.
Tutto questo se ti va di approfondire un po'.
Poichè c'ho scritto un po' nella mia tesi, ho pensato che magari poteva interessarti..
Come puoi vedere qui (http://it.wikipedia.org/wiki/Funzione_gamma) l'integrale che hai usato tu è esattamente il valore di $\Gamma(n+1)$. Probabilmente per questo il passaggio che tu chiedevi è stato passato sotto gamba, visto che è "noto" in matematica. La funzione $Gamma$, tra le tante cose che fa, interpola il fattoriale sui numeri complessi: ossia è tale che $Gamma(x+1)=x!$ per ogni $x\in\NN$ (ma ha senso parlare di $Gamma$ per ogni $z\in CC\setminus\{-1,-2,..\}$). La dimostrazione è esattamente quella che hai fatto tu. Probabilmente ti troverai prima o poi ad utilizzarla, e allora la definirai per bene. Sottolineo che è importante ragionare come hai fatto tu, dal momento che non vale appellarsi alle proprietà della funzione $Gamma$ per provare che quell'integrale fa quel numero, visto che è in un certo senso "più ordinato" fare come hai fatto tu. Bisogna vedere un po' qual è la relazione d'ordine..però almeno come maturazione dei concetti, la $Gamma$ è un po' successiva alla formula di Stirling. E del resto la dimostrazione delle sue proprietà è semplice, come hai visto. Ti suggerisco anche un librettino di Artin "the Gamma function" o qualcosa di simile.
Tutto questo se ti va di approfondire un po'.
Poichè c'ho scritto un po' nella mia tesi, ho pensato che magari poteva interessarti..
Io non lo sapevo perché la funzione gamma non la ho ancora studiata(sto facendo analisi 2),e la dimostrazione della formula di Stirlig che ho non é rigorosa.Comunque grazie comunque , magari quando ne saprò un po' di più di analisi approfondirò.
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