Formula di Sommazione di Abel
Salve,
come da titolo ho dei dubbi su questa formula:
data una serie $Sigma_0^(infty) (a_n b_n)$, se $a_n->0$ per $n->infty$ e la somma parziale $Sigma_0^n (b_i) = S_n$ è limitata, allora la serie
si può scrivere così: $Sigma_0^(infty) (a_(n+1) - a_n) S_n$
Fin qui niente di esotico: il problema è che il prof ha detto che se si può applicare questa formula, allora "appare chiaro" che la serie è convergente.
Come si fa a vederlo?
Esempio: $Sigma_1^(infty) 1/n sin n$
Il primo termine ovviamente tende a zero, mentre la somma parziale del secondo è limitata (non lo dimostro qui, ma comunque fidatevi...)
Di conseguenza si può applicare Abel e quindi la serie è convergente.
Ho pensato che forse la faccenda si può sbrogliare così:
$Sigma_0^infty |a_(n+1) - a_n| |S_n|$
Il primo termine, poichè $a_n->0$, è una quantità che si può controllare con una certa costante; la seconda quantità, per ipotesi, è limitata.
Ne consegue che la serie è assolutamente convergente, quindi è convergente.
Dico bene o mi sbaglio? Qualcuno può aiutarmi? Grazie
come da titolo ho dei dubbi su questa formula:
data una serie $Sigma_0^(infty) (a_n b_n)$, se $a_n->0$ per $n->infty$ e la somma parziale $Sigma_0^n (b_i) = S_n$ è limitata, allora la serie
si può scrivere così: $Sigma_0^(infty) (a_(n+1) - a_n) S_n$
Fin qui niente di esotico: il problema è che il prof ha detto che se si può applicare questa formula, allora "appare chiaro" che la serie è convergente.
Come si fa a vederlo?
Esempio: $Sigma_1^(infty) 1/n sin n$
Il primo termine ovviamente tende a zero, mentre la somma parziale del secondo è limitata (non lo dimostro qui, ma comunque fidatevi...)
Di conseguenza si può applicare Abel e quindi la serie è convergente.
Ho pensato che forse la faccenda si può sbrogliare così:
$Sigma_0^infty |a_(n+1) - a_n| |S_n|$
Il primo termine, poichè $a_n->0$, è una quantità che si può controllare con una certa costante; la seconda quantità, per ipotesi, è limitata.
Ne consegue che la serie è assolutamente convergente, quindi è convergente.
Dico bene o mi sbaglio? Qualcuno può aiutarmi? Grazie
Risposte
Credo che il criterio di Abel richieda $a_n$ decrescente. Anzi ne sono sicuro dato che altrimenti il criterio di Leibniz sarebbe vero senza la decrescenza e per questo mi e' chiaro
un controesempio.
Sotto questa ulteriore allora la serie che hai scritto
$\sum_n (a_{n+1}-a_n)S_n$ dovrebbe essere assolutamente convergente dato che
$\sum_n |a_{n+1}-a_n| |S_n|\leqM\sum_n (a_{n+1}-a_n)$ e l'ultima e' una serie telescopica.
Ho pero' grossi dubbi sul fatto che questo si traferisca alla serie $\sum_n a_n b_n$ in quando, sicuramente, di quest'ultima non si puo' dimostrare l'assoluta convegenza.
In che senso $\sum_n (a_{n+1}-a_n)S_n=\sum_n a_n b_n$ ?
un controesempio.
Sotto questa ulteriore allora la serie che hai scritto
$\sum_n (a_{n+1}-a_n)S_n$ dovrebbe essere assolutamente convergente dato che
$\sum_n |a_{n+1}-a_n| |S_n|\leqM\sum_n (a_{n+1}-a_n)$ e l'ultima e' una serie telescopica.
Ho pero' grossi dubbi sul fatto che questo si traferisca alla serie $\sum_n a_n b_n$ in quando, sicuramente, di quest'ultima non si puo' dimostrare l'assoluta convegenza.
In che senso $\sum_n (a_{n+1}-a_n)S_n=\sum_n a_n b_n$ ?
Nel senso che vale quell'uguaglianza...non saprei come altro dirlo.
L'uguaglianza di Abel in realtà vale per somme finite (ossia per le ridotte della serie [tex]\sum a_nb_n[/tex]) e si scrive:
[tex]$\sum_{n=1}^{N} a_nb_n =a_NS_N +\sum_{n=1}^{N-1} (a_n-a_{n+1}) S_n$[/tex]
(si prova per induzione); quindi passando al limite per [tex]$N\to +\infty$[/tex] e tenendo presente che le [tex]S_n[/tex] sono limitate, si ha:
[tex]$\sum_{n=1}^{+\infty} a_nb_n =\sum_{n=1}^{+\infty} (a_n-a_{n+1}) S_n$[/tex]
ammesso e non concesso che i due membri abbiano senso.
[tex]$\sum_{n=1}^{N} a_nb_n =a_NS_N +\sum_{n=1}^{N-1} (a_n-a_{n+1}) S_n$[/tex]
(si prova per induzione); quindi passando al limite per [tex]$N\to +\infty$[/tex] e tenendo presente che le [tex]S_n[/tex] sono limitate, si ha:
[tex]$\sum_{n=1}^{+\infty} a_nb_n =\sum_{n=1}^{+\infty} (a_n-a_{n+1}) S_n$[/tex]
ammesso e non concesso che i due membri abbiano senso.
"Gugo82":
L'uguaglianza di Abel in realtà vale per somme finite (ossia per le ridotte della serie [tex]\sum a_nb_n[/tex]) e si scrive:
[tex]$\sum_{n=1}^{N} a_nb_n =a_NS_N +\sum_{n=1}^{N-1} (a_n-a_{n+1}) S_n$[/tex]
...
.
Cosi' mi torna - se ne deduce che una serie converge se e solo se l'altra converge, ma non su deduce una relazione tra le convergenze assolute.
Mi pare allora che con l'ipotesi di $a_n$ decrescente si possa fare quello che dicevo sopra.
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