Formula di riduzione integrali: determinare gli insiemi
Buongiorno!
Non mi è molto chiaro in cosa consista la soluzione del seguente testo:
nella formula di riduzione:
$int_Af(x, y, z)dxdydz = int_(Pi_x(A))(int_(A_x)f(x, y, z)dydz)dx$
determinare gli insiemi $Pi_x(A)$ ed $A_x$ se:
$A = {(x, y, z) in R^3: x^2 + y^2 <= (z-1)^2, 0 <= z <= 1}
Ora, disegnando A saltano fuori due coni, uno rivolto verso l'alto e uno verso il basso, con vertice di base in comune in $(0, 0, 1)$
Nell'integrale interno a destra dell'uguale, cioè:
$int_(A_x)f(x, y, z)dydz$
considerando x costante rappresenta l'area di una fetta di questi due coni nel piano $yz$.
Quindi, molto banalmente, posso dire che:
$A_x = {(x, y, z) in R^3: x^2 + y^2 <= (z-1)^2}$ e
$Pi_x(A) = {(x, y, z) in R^3: 0 <= z <= 1}
Ma non credo proprio sia la soluzione richiesta, anche perchè non ho fatto niente..
Cosa dovrei esplicitare secondo voi?
Grazie per qualsiasi chiarimento!
Non mi è molto chiaro in cosa consista la soluzione del seguente testo:
nella formula di riduzione:
$int_Af(x, y, z)dxdydz = int_(Pi_x(A))(int_(A_x)f(x, y, z)dydz)dx$
determinare gli insiemi $Pi_x(A)$ ed $A_x$ se:
$A = {(x, y, z) in R^3: x^2 + y^2 <= (z-1)^2, 0 <= z <= 1}
Ora, disegnando A saltano fuori due coni, uno rivolto verso l'alto e uno verso il basso, con vertice di base in comune in $(0, 0, 1)$
Nell'integrale interno a destra dell'uguale, cioè:
$int_(A_x)f(x, y, z)dydz$
considerando x costante rappresenta l'area di una fetta di questi due coni nel piano $yz$.
Quindi, molto banalmente, posso dire che:
$A_x = {(x, y, z) in R^3: x^2 + y^2 <= (z-1)^2}$ e
$Pi_x(A) = {(x, y, z) in R^3: 0 <= z <= 1}
Ma non credo proprio sia la soluzione richiesta, anche perchè non ho fatto niente..
Cosa dovrei esplicitare secondo voi?
Grazie per qualsiasi chiarimento!
Risposte
Credo di non riuscire a risolvere quell'esercizio perchè in effetti non mi è molto chiaro come determinare gli insiemi sui quali integrare.
Per esempio è tutto il pomeriggio che sbatto la testa contro seguente integrale:
$int_Az^2dxdydz$
con $A = {(x, y, z) in R^3: x^2 + y^2 + z^2 <= 2, z^2 <= x^2 + y^2}$
L'insieme A dovrebbe essere l'area delimitata dall'intersezione della sfera e dai due coni che partono dall'origine e vanno verso destra e sinistra.
Come si ragiona per risolvere un integrale del genere?
Io ho fatto il seguente pensiero: sarebbe comodo risolvere un integrale del genere:
$intz^2(intintdxdy)dz$ in modo da lasciare la z all'integrale esterno, e quindi all'interno avere un integrale doppio della funzione 1, cioè un'area in $R^2$. Tale area dipenderà da z, ma una volta trovata basterà calcolare l'integrale esterno di una variabile; ma non sono riuscito a trovare degli intervalli di integrazione adeguati.
Grazie per qualsiasi delucidazione!
Per esempio è tutto il pomeriggio che sbatto la testa contro seguente integrale:
$int_Az^2dxdydz$
con $A = {(x, y, z) in R^3: x^2 + y^2 + z^2 <= 2, z^2 <= x^2 + y^2}$
L'insieme A dovrebbe essere l'area delimitata dall'intersezione della sfera e dai due coni che partono dall'origine e vanno verso destra e sinistra.
Come si ragiona per risolvere un integrale del genere?
Io ho fatto il seguente pensiero: sarebbe comodo risolvere un integrale del genere:
$intz^2(intintdxdy)dz$ in modo da lasciare la z all'integrale esterno, e quindi all'interno avere un integrale doppio della funzione 1, cioè un'area in $R^2$. Tale area dipenderà da z, ma una volta trovata basterà calcolare l'integrale esterno di una variabile; ma non sono riuscito a trovare degli intervalli di integrazione adeguati.
Grazie per qualsiasi delucidazione!
Oh mamma! Uno col mio stesso nome! 
Per una frazione di secondo ho pensato "ma quando l'ho scritto questo?"
Beh, vedo se riesco a dare una mano ad un omonimo...
io proverei le coordinate cilindriche:
$x=rhocos(theta)$
$y=rhosin(theta)$
$z=Z$
Così lo Jacobiano è $rho$ e l'insieme $A$ nel nuovo dominio è:
$A = {(rho,theta,Z) in R^3: rho^2 + Z^2 <= 2, Z^2 <= rho^2}$
e non dipende da $theta$, e cioè $A_theta=A$
Per una frazione di secondo ho pensato "ma quando l'ho scritto questo?"
Beh, vedo se riesco a dare una mano ad un omonimo...
io proverei le coordinate cilindriche:
$x=rhocos(theta)$
$y=rhosin(theta)$
$z=Z$
Così lo Jacobiano è $rho$ e l'insieme $A$ nel nuovo dominio è:
$A = {(rho,theta,Z) in R^3: rho^2 + Z^2 <= 2, Z^2 <= rho^2}$
e non dipende da $theta$, e cioè $A_theta=A$
"Luke1984":
Oh mamma! Uno col mio stesso nome!
Per una frazione di secondo ho pensato "ma quando l'ho scritto questo?"
Beh, vedo se riesco a dare una mano ad un omonimo...
io proverei le coordinate cilindriche:
$x=rhocos(theta)$
$y=rhosin(theta)$
$z=Z$
Così lo Jacobiano è $rho$ e l'insieme $A$ nel nuovo dominio è:
$A = {(rho,theta,Z) in R^3: rho^2 + Z^2 <= 2, Z^2 <= rho^2}$
e non dipende da $theta$, e cioè $A_theta=A$
e abbiamo (avevamo) anche lo stesso numero di messaggi! 
Comunque per rispetto, visto che sei registrato da più di un anno, ho cambiato nick.
Grazie mille per l'aiuto: quindi in pratica è come considerare un cilindro che varia continuamente il suo raggio, il cui asse è l'asse x, se ho capito bene.
A questo punto per calcolare il valore effettivo immagino si debba esplicitare il valore di z: facendo il disegno, i valori max e min di intersezione tra cilindro e coni dovrebbe essere per $z = +-1$.
Quindi per $-1 <= z <= 1$ troviamo come varia $rho$
$rho^2 + z^2 <= 2 -> rho^2 <= 2 - z^2 -> -sqrt(2 - z^2) <= rho <= sqrt(2 - z^2)$
$int_(-1)^1(int_(-sqrt(2 - z^2))^(sqrt(2 - z^2))z^2drho)dz$
Corretto o sono partito per la tangente?
Proviamo in $R^2$, un pò più semplice..
Per la formula di riduzione:
$int_Af(x, y)dxdy = int_(Pi_x(A))(int_(A_x)f(x, y)dy)dx$
determinare $Pi_x(A)$ e $A_x$ se:
$A = {(x, y) in R^2: 2y^2 <= x^2 + y^2 <= 1}
$x^2 + y^2 <= 1$ --> cerchio.
$2y^2 <= x^2 + y^2$ -> $y^2 <= x^2$ -> $|y| <= |x|$ --> area compresa tra le bisettrici del piano.
L'area in cui integrare è quindi l'intersezione tra il cerchio di centro l'origine e raggio 1, e le due bisettrici.
Sperando di ricevere un aiutino ho fatto anche un disegnino!
Quindi $A_x$ dovrebbe essere l'insieme delle y per una certa x fissata, quindi:
$A_x = {y in R: |y| <= |x|, x^2 + y^2 <= 1}$
e invece l'insieme esterno di integrazione mi determina il variare della x:
$Pi_x(A) = {x in R: -1 <= x <= 1}
Secondo voi è corretto? E' sufficiente esprimere in quel modo $A_x$ ?
Qualsiasi commento sarebbe di grande aiuto, lunedì ho lo scritto di analisi 2..
Grazie!
Per la formula di riduzione:
$int_Af(x, y)dxdy = int_(Pi_x(A))(int_(A_x)f(x, y)dy)dx$
determinare $Pi_x(A)$ e $A_x$ se:
$A = {(x, y) in R^2: 2y^2 <= x^2 + y^2 <= 1}
$x^2 + y^2 <= 1$ --> cerchio.
$2y^2 <= x^2 + y^2$ -> $y^2 <= x^2$ -> $|y| <= |x|$ --> area compresa tra le bisettrici del piano.
L'area in cui integrare è quindi l'intersezione tra il cerchio di centro l'origine e raggio 1, e le due bisettrici.
Sperando di ricevere un aiutino ho fatto anche un disegnino!
Quindi $A_x$ dovrebbe essere l'insieme delle y per una certa x fissata, quindi:
$A_x = {y in R: |y| <= |x|, x^2 + y^2 <= 1}$
e invece l'insieme esterno di integrazione mi determina il variare della x:
$Pi_x(A) = {x in R: -1 <= x <= 1}
Secondo voi è corretto? E' sufficiente esprimere in quel modo $A_x$ ?
Qualsiasi commento sarebbe di grande aiuto, lunedì ho lo scritto di analisi 2..
Grazie!
"Luke1984":
io proverei le coordinate cilindriche:
$x=rhocos(theta)$
$y=rhosin(theta)$
$z=Z$
Scusa ma com'è possibile parametrizzare in quel modo?
Prendiamo una sezione del cono: x è fissa, mentre y e z variano, o sbaglio?
Ho provato a fare un'altro bel disegnigno..
Ma a me sembra che da quello che hai scritto:
Il cono è lungo l'asse z, e non lungo x come lo hai disegnato... ma non è questo il problema.
La trasformazione che ho fatto ti consente di descrivere l'insieme nel nuovo sistema di coordinate con passaggi algebrici. Ovviamente nel nuovo sistema di coordinate la "forma" del dominio cambia completamente.
Infatti se la guardi sul piano $rho,Z$ è un dominio piano uguale a quello (ma solo la parte di destra, perchè $rho>=0$) che hai disegnato tu colorato in rosso (con la Z sull'asse verticale e la $rho$ sull'orizzontale). E in profondità...è uguale per tutti i valori di $theta$ che vanno da 0 a $2pi$.
quindi l'integrale diventa:
$int_0^(2pi) (intint_(A_theta) Z^2 rho drho dZ) d theta = 2pi intint_(A_theta) Z^2 rho drho dZ$
Ti resta da integrare la funzione $Z^2 rho$ su metà dominio piano che hai disegnato.
Per esempio è tutto il pomeriggio che sbatto la testa contro seguente integrale:
$int_Az^2dxdydz$
con $A = {(x, y, z) in R^3: x^2 + y^2 + z^2 <= 2, z^2 <= x^2 + y^2}$
Il cono è lungo l'asse z, e non lungo x come lo hai disegnato... ma non è questo il problema.
La trasformazione che ho fatto ti consente di descrivere l'insieme nel nuovo sistema di coordinate con passaggi algebrici. Ovviamente nel nuovo sistema di coordinate la "forma" del dominio cambia completamente.
Infatti se la guardi sul piano $rho,Z$ è un dominio piano uguale a quello (ma solo la parte di destra, perchè $rho>=0$) che hai disegnato tu colorato in rosso (con la Z sull'asse verticale e la $rho$ sull'orizzontale). E in profondità...è uguale per tutti i valori di $theta$ che vanno da 0 a $2pi$.
quindi l'integrale diventa:
$int_0^(2pi) (intint_(A_theta) Z^2 rho drho dZ) d theta = 2pi intint_(A_theta) Z^2 rho drho dZ$
Ti resta da integrare la funzione $Z^2 rho$ su metà dominio piano che hai disegnato.
"Luke1984":
Ma a me sembra che da quello che hai scritto:
Per esempio è tutto il pomeriggio che sbatto la testa contro seguente integrale:
$int_Az^2dxdydz$
con $A = {(x, y, z) in R^3: x^2 + y^2 + z^2 <= 2, z^2 <= x^2 + y^2}$
Il cono è lungo l'asse z, e non lungo x come lo hai disegnato...
Perchè lungo l'asse z?
La seconda disequazione che descrive A è: $z^2 <= x^2 + y^2$; quindi per ogni z questa individua una circonferenza di raggio z, e i punti che ci interessano sono quelli esterni, cioè quelli per cui il raggio è >z; quindi dovrebbe corrispondere a come l'ho disegnato, no?
Si è come l'hai disegnato tu, ma non capisco quei cerchi nel secondo disegno.
E' come se individuassero un cono lungo l'asse $rho$, e invece in questo dominio (cilindrico) non ci sono proprio più coni.
In coordinate cartesiane è un cono di cui si prende la parte esterna, OK.
In coordinate cilindriche è tutta un'altra cosa.
Non capisco la perplessità sul cambio di coordinate.
E' come se individuassero un cono lungo l'asse $rho$, e invece in questo dominio (cilindrico) non ci sono proprio più coni.
In coordinate cartesiane è un cono di cui si prende la parte esterna, OK.
In coordinate cilindriche è tutta un'altra cosa.
Non capisco la perplessità sul cambio di coordinate.
Scusami, ho considerato il disegno come se si riferisse al secondo problema, il fatto è che la sezione piana $A_theta$ del secondo pb che si ottiene ha guarda caso la stessa forma del tuo disegno (quello rosso), che invece è riferito al primo...
Luca D. , solo una curiosità: con che programma fai quei disegni?
"fireball":
Luca D. , solo una curiosità: con che programma fai quei disegni?
Oh purtroppo niente di speciale, sarebbe piaciuto anche a me avere un programmino più adatto!
Quelli li ho fatti con photoshop a mano; è tutto a occhio, nulla di calcolato.
Ciao!
"Luke1984":
Scusami, ho considerato il disegno come se si riferisse al secondo problema, il fatto è che la sezione piana $A_theta$ del secondo pb che si ottiene ha guarda caso la stessa forma del tuo disegno (quello rosso), che invece è riferito al primo...
Si in effetti è facile fare confusione con quei due disegni, avevo scritto anche l'altro problema in quanto mi sembrava un pò più semplice e sperando di ricevere qualche risposta!
Ritornando al tuo esercizio, io il grafico dell'insieme in coordiate cilindriche non l'ho *MAI* considerato: nel senso che ho disegnato i grafici in coordinate cartesiane per cercare di capire come dedurre le coordinate cilindriche.
E in particolare, visto che abbiamo appurato che l'asse del cono è la x, non capisco come tu faccia a parametrizzare la x in quel modo.
Nel disegno (sempre riferito a questo problema) sotto ho riportato una sezione di quel cono dove ho scritto come la immagino io la parametrizzazione: dove sbaglio?
Siamo giunti all'epilogo di questa lunga e tormentata vicenda...
Dopo aver appurato che i coni vanno verso destra e sinistra, parametrizzare in quel modo non andava bene, in quanto le varie circonferenzine erano tutte parallele al piano yz, ma visto che i vincoli erano:
$x^2 + y^2 + z^2 <= 2$
$x^2 + y^2 >= z^2$
quella parametrizzazione ci tornava comodo se avessimo avuto sempre vincoli con $y^2 + z^2$, cosa che c'è nel primo ma purtroppo non nel secondo! Quindi ci serve una parametrizzazione in cui compaiano $sin$ e $cos$ per le variabili x, y.
Sempre per allietarvi la sofferenza ho fatto un altro disegnino (ma noo, ancora... basta!! direte voi..).
Invece di vedere due coni che vanno verso dx e sx, ho pensato di vedere tante sezioni di una ciambella che si muovono lungo l'asse z.
Il che ci porta alla parametrizzazione desiderata!!
Riporto il disegnino:
In coordinate cilindriche abbiamo quindi:
$z^2 <= rho^2 <= 2 - z^2$
$|z| <= rho <= sqrt(2 - z^2)$
Quindi, sperando che possano almeno tornare utili a qualcuno, i calcoli:
ricordando che il determinante della jacobiana data dalla parametrizzazione in coordinate cilindriche è $rho$, abbiamo:
$int_(-1)^1z^2(int_(|z|)^(sqrt(2 - z^2))rho(int_0^(2pi)*d(theta))d(rho))d(z) =$
$ = int_(-1)^1z^2(int_(|z|)^(sqrt(2-z^2))rho*2pi*d(rho))d(z) =$
$ = int_(-1)^1z^2pi(((rho)^2)/2)_(|z|)^(sqrt(2-z^2))*dz =$
$ = int_(-1)^1z^2pi[(2-z^2)-z^2]*dz = int_(-1)^1z^2pi(2-2z^2)dz =$
$ = int_(-1)^1(2piz^2 - 2piz^4)dz = (2piz^3/3 - 2piz^5/5)_(-1)^1 = 2pi/3 - 2pi/5 + 2pi/3 - 2pi/5 = 4pi/3 - 4pi/5 = $ $8pi/15$
Ringrazio il mio omonimo per il supporto step-by-step!
Dopo aver appurato che i coni vanno verso destra e sinistra, parametrizzare in quel modo non andava bene, in quanto le varie circonferenzine erano tutte parallele al piano yz, ma visto che i vincoli erano:
$x^2 + y^2 + z^2 <= 2$
$x^2 + y^2 >= z^2$
quella parametrizzazione ci tornava comodo se avessimo avuto sempre vincoli con $y^2 + z^2$, cosa che c'è nel primo ma purtroppo non nel secondo! Quindi ci serve una parametrizzazione in cui compaiano $sin$ e $cos$ per le variabili x, y.
Sempre per allietarvi la sofferenza ho fatto un altro disegnino (ma noo, ancora... basta!! direte voi..).
Invece di vedere due coni che vanno verso dx e sx, ho pensato di vedere tante sezioni di una ciambella che si muovono lungo l'asse z.
Il che ci porta alla parametrizzazione desiderata!!
Riporto il disegnino:
In coordinate cilindriche abbiamo quindi:
$z^2 <= rho^2 <= 2 - z^2$
$|z| <= rho <= sqrt(2 - z^2)$
Quindi, sperando che possano almeno tornare utili a qualcuno, i calcoli:
ricordando che il determinante della jacobiana data dalla parametrizzazione in coordinate cilindriche è $rho$, abbiamo:
$int_(-1)^1z^2(int_(|z|)^(sqrt(2 - z^2))rho(int_0^(2pi)*d(theta))d(rho))d(z) =$
$ = int_(-1)^1z^2(int_(|z|)^(sqrt(2-z^2))rho*2pi*d(rho))d(z) =$
$ = int_(-1)^1z^2pi(((rho)^2)/2)_(|z|)^(sqrt(2-z^2))*dz =$
$ = int_(-1)^1z^2pi[(2-z^2)-z^2]*dz = int_(-1)^1z^2pi(2-2z^2)dz =$
$ = int_(-1)^1(2piz^2 - 2piz^4)dz = (2piz^3/3 - 2piz^5/5)_(-1)^1 = 2pi/3 - 2pi/5 + 2pi/3 - 2pi/5 = 4pi/3 - 4pi/5 = $ $8pi/15$
Ringrazio il mio omonimo per il supporto step-by-step!
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