Formula di Poisson per il semispazio
Ho bisogno della dimostrazione del seguente teorema:
Sia \(\displaystyle u(x,x_n)= \frac{2}{\omega_N} \int_{R^{n-1}} \frac{x_n}{[x_n^2+|x-y|^2]^{N/2}} g(y) dy \) con \(\displaystyle g\in C^0(R^{n-1})\cap L^{\infty}(R^{N-1}). \) Allora
1) \(\displaystyle u \in C^{\infty}(semispazio)\cap L^{\infty}(semispazio) \)
2) \(\displaystyle \Delta u=0 \) nel semispazio
3) \(\displaystyle lim_{x_n\to0^+} u(x,x_n)=g(x) \) per ogni x sul bordo del semispazio.
Ho trovato la dimostrazione sull'Evans, ma non riesco proprio a capirla. Qualcuno mi può dire dove altro posso prenderla?
Sia \(\displaystyle u(x,x_n)= \frac{2}{\omega_N} \int_{R^{n-1}} \frac{x_n}{[x_n^2+|x-y|^2]^{N/2}} g(y) dy \) con \(\displaystyle g\in C^0(R^{n-1})\cap L^{\infty}(R^{N-1}). \) Allora
1) \(\displaystyle u \in C^{\infty}(semispazio)\cap L^{\infty}(semispazio) \)
2) \(\displaystyle \Delta u=0 \) nel semispazio
3) \(\displaystyle lim_{x_n\to0^+} u(x,x_n)=g(x) \) per ogni x sul bordo del semispazio.
Ho trovato la dimostrazione sull'Evans, ma non riesco proprio a capirla. Qualcuno mi può dire dove altro posso prenderla?
Risposte
sembra un esercizio di analisi 2 alla fine, non so come la fa Evans, ma proverei a farla proprio a mano, la $u$ è abbastanza esplicita, prova a postare man mano i pezzi della dimostrazione che vediamo cosa non torna.
Se posso suggerire, prova a fare a mano dapprima il caso \(n=2\) e poi a generalizzare.
Se non riesci, dai uno sguardo a Evans, Partial Differential Equations, cap. 2 (se non ricordo male).
Se non riesci, dai uno sguardo a Evans, Partial Differential Equations, cap. 2 (se non ricordo male).
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