Formula di Mac Laurin e Integrali Generalizzati
Salve a tutti, avrei bisogno di un aiutino per risolvere un esercizio;
dovrei determinare se il seguente integrale generalizzato converge o meno:
\(\displaystyle \intop_{-\infty}^{+\infty}\frac{\sqrt{|x^{2}-1|}arctg^{2}x}{|x|^{\frac{5}{2}}log|x|}dx \)
Il testo dice che devo andare a trovare i punti problematici, che individua in: \(\displaystyle \pm\infty \), \(\displaystyle 0 \), \(\displaystyle \pm1 \).
Prima domanda, è ovvio che \(\displaystyle 0 \), \(\displaystyle \pm1 \) e \(\displaystyle -\infty \) siano dei punti problematici, ma \(\displaystyle +\infty \) lo è perchè porta ad una forma indeterminata? Se è così mi va bene...
Si vede che la funzione in questione è pari, è data dall'insieme di funzioni pari, quali la radice del modulo, il logaritmo del modulo, il modulo stesso e l'arco tangente. Si può quindi dimezzare lo studio dei punti problematici, limitandoci ad esempio a quelli nella parte dei numeri positivi.
1) Studio per \(\displaystyle x\rightarrow0^{+} \):
So che:
\(\displaystyle \sqrt{|x^{2}-1|}\rightarrow1 \)
\(\displaystyle arctgx\sim x \)
\(\displaystyle arctg^{2}x\sim x^{2} \)
Quindi ho che:
\(\displaystyle \frac{\sqrt{|x^{2}-1|}arctg^{2}x}{|x|^{\frac{5}{2}}log|x|}\sim\frac{x^{2}}{|x|^{\frac{5}{2}}log|x|}=\frac{1}{|x|^{\frac{1}{2}}log|x|}=\frac{1}{\sqrt{|x|}log|x|} \)
A questo punto applico il criterio del rapporto utilizzando il teorema per gli integrali generalizzati che mi dice che:
se f è per \(\displaystyle x\rightarrow x_{0} \) un infinito di ordine minore o uguale ad \(\displaystyle \alpha \) con 0<\(\displaystyle \alpha \)<1 rispetto all'infinito \(\displaystyle \frac{1}{(x_{0}-x)^{\alpha}} \) essa risulta integrabile in senso generalizzato.
Per applicare il criterio del rapporto posso ad esempio prendere la funzione \(\displaystyle \frac{1}{x^{\frac{3}{4}}} \), in quanto questo è un infinito di ordine 3/4, mentre quello della nostra funzione è un infinito di ordine poco maggiore a quello della radice (1/2).
Si vede infatti che:
\(\displaystyle \frac{\frac{1}{\sqrt{|x|}log|x|}}{\frac{1}{x^{\frac{3}{4}}}}=\frac{x^{\frac{3}{4}}}{\sqrt{|x|}log|x|}\rightarrow0 \)
Quindi nel punto problematico 0 l'integrale converge
2) Studio per \(\displaystyle x\rightarrow1^{-} \)
So quindi che:
\(\displaystyle arctg^{2}x\rightarrow\frac{\pi^{2}}{16}=c \)
\(\displaystyle \sqrt{|x^{2}-1|}=\sqrt{|x+1|}\sqrt{|x-1|}\rightarrow\sqrt{2}(x-1)^{\frac{1}{2}} \)
Quest'ultima riga non mi è molto chiara, in quanto se il testo sostituisce 1 in una radice in modo che diventi \(\displaystyle \sqrt{2} \) perchè non lo fa anche nell'altra radice, so che è quella problematica, ma non mi sembra il modo giusto di procedere....
effettuo ora uno scambio di variabili:
x-1 = y
\(\displaystyle log|x|=log|1+y|\sim y=x-1 \)
\(\displaystyle log|x|\sim x-1 \)
Ho quindi che:
\(\displaystyle \frac{\sqrt{|x^{2}-1|}arctg^{2}x}{|x|^{\frac{5}{2}}log|x|}\sim\frac{c\sqrt{2}(x-1)^{\frac{1}{2}}}{x-1}=\frac{c\sqrt{2}}{\sqrt{x-1}} \)
Per dimostrare che converga posso sempre applicare il criterio del rapporto, scegliendo anche la medesima funzione: \(\displaystyle f=\frac{1}{x^{\frac{3}{4}}} \)
\(\displaystyle \frac{c\sqrt{2}}{\sqrt{x-1}}\cdot x^{\frac{3}{4}}=c\sqrt{2}\frac{x^{\frac{3}{4}}}{\sqrt{x-1}} \) che mostra come anche in questo caso l'integrale converga nuovamente.
3) Studio per \(\displaystyle x\rightarrow+\infty \)
In questo caso so che \(\displaystyle \sqrt{|x^{2}-1|}\sim x \), da cui:
\(\displaystyle \frac{\sqrt{|x^{2}-1|}arctg^{2}x}{|x|^{\frac{5}{2}}log|x|}\sim\frac{cx}{x^{\frac{5}{2}}logx}=\frac{c}{x^{\frac{3}{2}}logx} \) che converge nuovamente utilizzando il criterio del rapporto.
Può quindi andare bene come svolgimento?
Vi ringrazio molto.
Distinti saluti
dovrei determinare se il seguente integrale generalizzato converge o meno:
\(\displaystyle \intop_{-\infty}^{+\infty}\frac{\sqrt{|x^{2}-1|}arctg^{2}x}{|x|^{\frac{5}{2}}log|x|}dx \)
Il testo dice che devo andare a trovare i punti problematici, che individua in: \(\displaystyle \pm\infty \), \(\displaystyle 0 \), \(\displaystyle \pm1 \).
Prima domanda, è ovvio che \(\displaystyle 0 \), \(\displaystyle \pm1 \) e \(\displaystyle -\infty \) siano dei punti problematici, ma \(\displaystyle +\infty \) lo è perchè porta ad una forma indeterminata? Se è così mi va bene...
Si vede che la funzione in questione è pari, è data dall'insieme di funzioni pari, quali la radice del modulo, il logaritmo del modulo, il modulo stesso e l'arco tangente. Si può quindi dimezzare lo studio dei punti problematici, limitandoci ad esempio a quelli nella parte dei numeri positivi.
1) Studio per \(\displaystyle x\rightarrow0^{+} \):
So che:
\(\displaystyle \sqrt{|x^{2}-1|}\rightarrow1 \)
\(\displaystyle arctgx\sim x \)
\(\displaystyle arctg^{2}x\sim x^{2} \)
Quindi ho che:
\(\displaystyle \frac{\sqrt{|x^{2}-1|}arctg^{2}x}{|x|^{\frac{5}{2}}log|x|}\sim\frac{x^{2}}{|x|^{\frac{5}{2}}log|x|}=\frac{1}{|x|^{\frac{1}{2}}log|x|}=\frac{1}{\sqrt{|x|}log|x|} \)
A questo punto applico il criterio del rapporto utilizzando il teorema per gli integrali generalizzati che mi dice che:
se f è per \(\displaystyle x\rightarrow x_{0} \) un infinito di ordine minore o uguale ad \(\displaystyle \alpha \) con 0<\(\displaystyle \alpha \)<1 rispetto all'infinito \(\displaystyle \frac{1}{(x_{0}-x)^{\alpha}} \) essa risulta integrabile in senso generalizzato.
Per applicare il criterio del rapporto posso ad esempio prendere la funzione \(\displaystyle \frac{1}{x^{\frac{3}{4}}} \), in quanto questo è un infinito di ordine 3/4, mentre quello della nostra funzione è un infinito di ordine poco maggiore a quello della radice (1/2).
Si vede infatti che:
\(\displaystyle \frac{\frac{1}{\sqrt{|x|}log|x|}}{\frac{1}{x^{\frac{3}{4}}}}=\frac{x^{\frac{3}{4}}}{\sqrt{|x|}log|x|}\rightarrow0 \)
Quindi nel punto problematico 0 l'integrale converge
2) Studio per \(\displaystyle x\rightarrow1^{-} \)
So quindi che:
\(\displaystyle arctg^{2}x\rightarrow\frac{\pi^{2}}{16}=c \)
\(\displaystyle \sqrt{|x^{2}-1|}=\sqrt{|x+1|}\sqrt{|x-1|}\rightarrow\sqrt{2}(x-1)^{\frac{1}{2}} \)
Quest'ultima riga non mi è molto chiara, in quanto se il testo sostituisce 1 in una radice in modo che diventi \(\displaystyle \sqrt{2} \) perchè non lo fa anche nell'altra radice, so che è quella problematica, ma non mi sembra il modo giusto di procedere....
effettuo ora uno scambio di variabili:
x-1 = y
\(\displaystyle log|x|=log|1+y|\sim y=x-1 \)
\(\displaystyle log|x|\sim x-1 \)
Ho quindi che:
\(\displaystyle \frac{\sqrt{|x^{2}-1|}arctg^{2}x}{|x|^{\frac{5}{2}}log|x|}\sim\frac{c\sqrt{2}(x-1)^{\frac{1}{2}}}{x-1}=\frac{c\sqrt{2}}{\sqrt{x-1}} \)
Per dimostrare che converga posso sempre applicare il criterio del rapporto, scegliendo anche la medesima funzione: \(\displaystyle f=\frac{1}{x^{\frac{3}{4}}} \)
\(\displaystyle \frac{c\sqrt{2}}{\sqrt{x-1}}\cdot x^{\frac{3}{4}}=c\sqrt{2}\frac{x^{\frac{3}{4}}}{\sqrt{x-1}} \) che mostra come anche in questo caso l'integrale converga nuovamente.
3) Studio per \(\displaystyle x\rightarrow+\infty \)
In questo caso so che \(\displaystyle \sqrt{|x^{2}-1|}\sim x \), da cui:
\(\displaystyle \frac{\sqrt{|x^{2}-1|}arctg^{2}x}{|x|^{\frac{5}{2}}log|x|}\sim\frac{cx}{x^{\frac{5}{2}}logx}=\frac{c}{x^{\frac{3}{2}}logx} \) che converge nuovamente utilizzando il criterio del rapporto.
Può quindi andare bene come svolgimento?
Vi ringrazio molto.
Distinti saluti
Risposte
Per $x->0^+$, puoi più semplicemente prendere la stessa $x^(-1/2)$ come infinito di confronto.
Per $x->1$, considerando i soli fattori che tendono a zero, $sqrt|x^2-1|$ è circa $sqrt2|x-1|^(1/2)$, mentre $logx=log[1+(x-1)]$ è circa $x-1$. Il rapporto è circa $+-(x-1)^(-1/2)$, a meno di fattori inessenziali. Quindi, puoi prendere $(x-1)^(-1/2)$ come infinito di confronto.
Per $x->+oo$, nelle stesse condizioni di cui sopra, si ha circa $1/(x^(3/2)logx)$. Anche qui, puoi prendere $x^(-3/2)$ come infinitesimo di confronto.
Questa tua considerazione è piuttosto oscura.
Puoi sostituire se il risultato non è nullo, trattandosi di un fattore inessenziale. Ma se il risultato è nullo, devi sviluppare per fare il confronto.
Immagino intendessi $1/(x-1)^(3/4)$.
Non c'è male, ma si può fare meglio. Insomma, ti complichi la vita inutilmente.
Per $x->1$, considerando i soli fattori che tendono a zero, $sqrt|x^2-1|$ è circa $sqrt2|x-1|^(1/2)$, mentre $logx=log[1+(x-1)]$ è circa $x-1$. Il rapporto è circa $+-(x-1)^(-1/2)$, a meno di fattori inessenziali. Quindi, puoi prendere $(x-1)^(-1/2)$ come infinito di confronto.
Per $x->+oo$, nelle stesse condizioni di cui sopra, si ha circa $1/(x^(3/2)logx)$. Anche qui, puoi prendere $x^(-3/2)$ come infinitesimo di confronto.
"Catanzani":
Prima domanda, è ovvio che \(\displaystyle 0 \), \(\displaystyle \pm1 \) e \(\displaystyle -\infty \) siano dei punti problematici, ma \(\displaystyle +\infty \) lo è perchè porta ad una forma indeterminata? Se è così mi va bene...
Questa tua considerazione è piuttosto oscura.
"Catanzani":
Quest'ultima riga non mi è molto chiara, in quanto se il testo sostituisce 1 in una radice in modo che diventi \(\displaystyle \sqrt{2} \) perchè non lo fa anche nell'altra radice, so che è quella problematica, ma non mi sembra il modo giusto di procedere...
Puoi sostituire se il risultato non è nullo, trattandosi di un fattore inessenziale. Ma se il risultato è nullo, devi sviluppare per fare il confronto.
"Catanzani":
Per dimostrare che converga posso sempre applicare il criterio del rapporto, scegliendo anche la medesima funzione: \(\displaystyle f=\frac{1}{x^{\frac{3}{4}}} \)
Immagino intendessi $1/(x-1)^(3/4)$.
"Catanzani":
Può quindi andare bene come svolgimento?
Non c'è male, ma si può fare meglio. Insomma, ti complichi la vita inutilmente.
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