Formula di Leibnitz?
Buonasera,
Considero due funzioni $a(t)$ e $b(t) in C^1$ su un intervallo $[alpha, beta]$.
Considero una funzione $f(t,tau)$ tale che
$f(t,tau)$
e
$partial/(partial t) f(t,tau)$
sono continue se $t in [alpha,beta]$ e se $tau in [a(t),b(t)]$
La formula di Leibnitz dice che:
1) tale formula si chiama effettivamente formula di Leibnitz?? Non sono riuscito a trovare questa formula sui miei libri di testo, e neanche online!!!
2) non mi è molto chiara la seguente condizione
" $f(t,tau)$ e $partial/(partial t) f(t,tau)$ sono continue ... se $tau in [a(t),b(t)]$ . "
Qualcuno saprebbe spiegarmela?
La funzione $f$ dipende da due variabili ($t$ e $tau$). Una di queste due variabili ($tau$) varia fra in un intervallo dipendente da due funzioni ($a(t)$ e $b(t)$) che sono a loro volta dipendenti dall'altra variabile di $f$ (ovvero $t$). E' giusto? Mi sembra un po' contorto
Considero due funzioni $a(t)$ e $b(t) in C^1$ su un intervallo $[alpha, beta]$.
Considero una funzione $f(t,tau)$ tale che
$f(t,tau)$
e
$partial/(partial t) f(t,tau)$
sono continue se $t in [alpha,beta]$ e se $tau in [a(t),b(t)]$
La formula di Leibnitz dice che:
$d/(dt)( int_(a(t))^(b(t)) f(t,tau)d tau) = (int_(a(t))^(b(t)) partial/(partial t) f(t,tau)d tau) + f(t,b(t)) d/(dt) (b(t)) - f(t,a(t)) d/(dt) (a(t)) $
Vorrei chiedervi:
1) tale formula si chiama effettivamente formula di Leibnitz?? Non sono riuscito a trovare questa formula sui miei libri di testo, e neanche online!!!
2) non mi è molto chiara la seguente condizione
" $f(t,tau)$ e $partial/(partial t) f(t,tau)$ sono continue ... se $tau in [a(t),b(t)]$ . "
Qualcuno saprebbe spiegarmela?
La funzione $f$ dipende da due variabili ($t$ e $tau$). Una di queste due variabili ($tau$) varia fra in un intervallo dipendente da due funzioni ($a(t)$ e $b(t)$) che sono a loro volta dipendenti dall'altra variabile di $f$ (ovvero $t$). E' giusto? Mi sembra un po' contorto
Risposte
1. Mai sentita chiamare con quel nome... Quella roba lì è una derivazione di una funzione composta con una derivazione sotto il segno d'integrale.
2. La continuità è rilassabile, ma se stai studiando Analisi II va bene così.
Quanto all'appartenenza di $tau$ all'intervallo $[a(t), b(t)]$ per ogni $t$, guarda bene che ruolo ha $tau$ negli integrali coinvolti.
2. La continuità è rilassabile, ma se stai studiando Analisi II va bene così.
Quanto all'appartenenza di $tau$ all'intervallo $[a(t), b(t)]$ per ogni $t$, guarda bene che ruolo ha $tau$ negli integrali coinvolti.
"impe":
1) tale formula si chiama effettivamente formula di Leibnitz?? Non sono riuscito a trovare questa formula sui miei libri di testo, e neanche online!!!
Non è completamente usuale chiamarla così ma sì, si chiama così.
2) non mi è molto chiara la seguente condizione
" $f(t,tau)$ e $partial/(partial t) f(t,tau)$ sono continue ... se $tau in [a(t),b(t)]$ . "
Qualcuno saprebbe spiegarmela?
Se guardi la formula, nella seconda variabile della $f$, ti interessa che la variabile $\tau$ vari tra $a(t)$ e $b(t)$, anche se sarebbe più corretto scrivere che $f$ deve essere continua in $A={(t,\tau)\in RR^2|t\in[\alpha,\beta], \tau\in[min{a(t),b(t)},max{a(t),b(t)}]}$.
Ciao impe,
Dai un'occhiata a questo thread, in particolare al mio post dove c'è il link all'ottimo post proprio di gugo82 qui, oppure qui (link già menzionato da otta96). Per la denominazione in particolare, Regola integrale di Leibnitz, oppure talvolta Formula integrale di Leibnitz, per distinguerla da altre formule di Leibnitz, come ad esempio quella della derivata $n$-esima del prodotto di due o più funzioni.
Dai un'occhiata a questo thread, in particolare al mio post dove c'è il link all'ottimo post proprio di gugo82 qui, oppure qui (link già menzionato da otta96). Per la denominazione in particolare, Regola integrale di Leibnitz, oppure talvolta Formula integrale di Leibnitz, per distinguerla da altre formule di Leibnitz, come ad esempio quella della derivata $n$-esima del prodotto di due o più funzioni.
Comunque si dice "Leibniz". Aggiungerci la "t" è un francesismo, come in Laurent Schwartz, che era francese di origini tedesche (o forse austriache).
"dissonance":
Comunque si dice "Leibniz". Aggiungerci la "t" è un francesismo, come in Laurent Schwartz, che era francese di origini tedesche (o forse austriache).
Come Lagrange al posto di Lagrangia, insomma...
"gugo82":
Quanto all'appartenenza di $tau$ all'intervallo $[a(t), b(t)]$ per ogni $t$, guarda bene che ruolo ha $tau$ negli integrali coinvolti.
E' la variabile di integrazione, quindi deve per forza appartenere agli estremi di integrazione $[a(t), b(t)]$, altrimenti "dove" la starei integrando..?
Il ragionamento è corretto?
"dissonance":
Comunque si dice "Leibniz". Aggiungerci la "t" è un francesismo, come in Laurent Schwartz, che era francese di origini tedesche (o forse austriache).
Pardon
"impe":
[quote="gugo82"]
Quanto all'appartenenza di $tau$ all'intervallo $[a(t), b(t)]$ per ogni $t$, guarda bene che ruolo ha $tau$ negli integrali coinvolti.
E' la variabile di integrazione, quindi deve per forza appartenere agli estremi di integrazione $[a(t), b(t)]$, altrimenti "dove" la starei integrando..?
Il ragionamento è corretto?[/quote]
Già.
Ovviamente, si sta tacitamente assumendo che $a(t) <= b(t)$ per ogni $t$ nell'intervallo di riferimento.
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