Formula di Hermite
Buonasera a tutti,
il mio docente di Analisi I richiede di saper calcolare l'integrale di una funzione fratta utilizzando la formula di Hermite. Purtroppo non ho capito assolutamente nulla né del teorema né della sua applicazione pratica e il materiale che trovo sul web mi confonde ancor di più le idee.
Vi sarei infinitamente grato se mi spiegaste in parole povere come procedere, sono veramente disperato
.
Di seguito lascio un esercizio tipo:
$"Calcolare il seguente integrale: "
\int1/(x^2(sqrt(x+1)+1)) dx$
Grazie in anticipo!
il mio docente di Analisi I richiede di saper calcolare l'integrale di una funzione fratta utilizzando la formula di Hermite. Purtroppo non ho capito assolutamente nulla né del teorema né della sua applicazione pratica e il materiale che trovo sul web mi confonde ancor di più le idee.
Vi sarei infinitamente grato se mi spiegaste in parole povere come procedere, sono veramente disperato
.Di seguito lascio un esercizio tipo:
$"Calcolare il seguente integrale: "
\int1/(x^2(sqrt(x+1)+1)) dx$
Grazie in anticipo!
Risposte
Ciao RP-1,
Basta che cerchi la parola chiave "Hermite" anche solo su questo stesso forum: è una questione che è stata posta diverse volte, anche recentemente.
Il primo passo è trasformare l'integrale proposto in quello di una funzione fratta, cosa che puoi fare ponendo $t := \sqrt{x + 1} $
Basta che cerchi la parola chiave "Hermite" anche solo su questo stesso forum: è una questione che è stata posta diverse volte, anche recentemente.
"RP-1":
il mio docente di Analisi I richiede di saper calcolare l'integrale di una funzione fratta utilizzando la formula di Hermite.
Il primo passo è trasformare l'integrale proposto in quello di una funzione fratta, cosa che puoi fare ponendo $t := \sqrt{x + 1} $
"pilloeffe":
Ciao RP-1,
Basta che cerchi la parola chiave "Hermite" anche solo su questo stesso forum: è una questione che è stata posta diverse volte, anche recentemente.
[quote="RP-1"]il mio docente di Analisi I richiede di saper calcolare l'integrale di una funzione fratta utilizzando la formula di Hermite.
Il primo passo è trasformare l'integrale proposto in quello di una funzione fratta, cosa che puoi fare ponendo $t := \sqrt{x + 1} $[/quote]
Ciao!
Ho letto il post da te linkato ed operato la sostituzione che mi hai proposto ottenendo la seguente funzione:
$1/((t^4-2t^2+1)(t+1)$.
In tale funzione, però, non è verificata la condizione $Delta_j = beta_j^2 - 4 gamma_j < 0$.
Come mi comporto?
Con la sostituzione $t := \sqrt{x + 1} $ che ti ho proposto dovrebbe risultarti quanto segue:
$ \int 1/(x^2(sqrt(x+1)+1)) \text{d}x = 2\int \frac{t}{(t + 1)(t^2 - 1)^2}\text{d}t = 2 \int \frac{(t + 1) - 1}{(t + 1)(t^2 - 1)^2}\text{d}t = $
$ = 2[\int \frac{1}{(t^2 - 1)^2}\text{d}t - \int \frac{1}{(t + 1)(t^2 - 1)^2}\text{d}t] = 2[\int \frac{1}{(t - 1)^2 (t + 1)^2}\text{d}t - \int \frac{1}{(t + 1)^3(t - 1)^2}\text{d}t]$
$ \int 1/(x^2(sqrt(x+1)+1)) \text{d}x = 2\int \frac{t}{(t + 1)(t^2 - 1)^2}\text{d}t = 2 \int \frac{(t + 1) - 1}{(t + 1)(t^2 - 1)^2}\text{d}t = $
$ = 2[\int \frac{1}{(t^2 - 1)^2}\text{d}t - \int \frac{1}{(t + 1)(t^2 - 1)^2}\text{d}t] = 2[\int \frac{1}{(t - 1)^2 (t + 1)^2}\text{d}t - \int \frac{1}{(t + 1)^3(t - 1)^2}\text{d}t]$
Non mi è chiaro da dove arrivi la $t$ al numeratore. Il termine $d/dt((P^1(t))/(Q^1(t)))$ non dovrebbe valere $(\alpha_0+\alpha_1t)/(t^2-1)$?
"RP-1":
Non mi è chiaro da dove arrivi la $t $ al numeratore.
Posto $t := sqrt{x + 1} \implies t^2 = x + 1 \implies x = t^2 - 1 \implies \text{d}x = 2 t \text{d}t $, quindi si ha:
$ \int 1/(x^2(sqrt(x+1)+1)) \text{d}x = \int 1/((t^2 - 1)^2 (t + 1)) 2t \text{d}t = 2 \int t/((t + 1)(t^2 - 1)^2 ) \text{d}t $
Innanzitutto scusa per l'errore imperdonabile, in questo caso più che applicare la formula di Hermite si sta operando una normale semplificazione, o sbaglio? Che differenza c'è?
Finora non è stata ancora applicata alcuna formula di Hermite, ma semplicemente scritto $\text{d}x $ in termini di $ \text{d}t $. Poi è stato aggiunto e sottratto $1 $ al numeratore dell'integrale in modo da riuscire a semplificare il $(t + 1)$ al numertore col $(t + 1) $ al denominatore.
Sto facendo molta confusione, ma non mi è chiaro perché operare tale semplificazione
$2\int \frac{t}{(t + 1)(t^2 - 1)^2}\text{d}t -> 2[\int \frac{1}{(t - 1)^2 (t + 1)^2}\text{d}t - \int \frac{1}{(t + 1)^3(t - 1)^2}\text{d}t]$
anziché considerare semplicemente $2\int \frac{t}{(t + 1)^3(t-1)^2}\text{d}t$.
In tal caso si avrebbe:
$\intA_1/(t+1)+A_2/(t-1)+d/dt((\alpha_0+\alpha_1t+\alpha_2t^2)/((t+1)^2(t-1)))$, o sbaglio?
Non capisco il contributo che da il numeratore. Nel post da te linkato la semplificazione è definita in tal modo:
$f(x) = A_1/(x - alpha_1) + \cdots + A_m/(x - alpha_m) + (B_1x + C_1)/(x^2 + beta_1 x + gamma_1) +\cdots + (B_n x + C_n)/(x^2 + beta_n x + gamma_n) + (text(d))/(text(d) x)[(a_0+a_1x+\cdots + a_(q^** - 1) x^(q^** - 1))/(Q^**(x))]$
e non mi sembra venga considerato il polinomio al numeratore nella funzione di partenza. Dunque non capisco il motivo dell'unità al numeratore. Dove mi perdo?
$2\int \frac{t}{(t + 1)(t^2 - 1)^2}\text{d}t -> 2[\int \frac{1}{(t - 1)^2 (t + 1)^2}\text{d}t - \int \frac{1}{(t + 1)^3(t - 1)^2}\text{d}t]$
anziché considerare semplicemente $2\int \frac{t}{(t + 1)^3(t-1)^2}\text{d}t$.
In tal caso si avrebbe:
$\intA_1/(t+1)+A_2/(t-1)+d/dt((\alpha_0+\alpha_1t+\alpha_2t^2)/((t+1)^2(t-1)))$, o sbaglio?
Non capisco il contributo che da il numeratore. Nel post da te linkato la semplificazione è definita in tal modo:
$f(x) = A_1/(x - alpha_1) + \cdots + A_m/(x - alpha_m) + (B_1x + C_1)/(x^2 + beta_1 x + gamma_1) +\cdots + (B_n x + C_n)/(x^2 + beta_n x + gamma_n) + (text(d))/(text(d) x)[(a_0+a_1x+\cdots + a_(q^** - 1) x^(q^** - 1))/(Q^**(x))]$
e non mi sembra venga considerato il polinomio al numeratore nella funzione di partenza. Dunque non capisco il motivo dell'unità al numeratore. Dove mi perdo?
Beh, ci sono diversi modi di risolvere l'integrale... 
La mia idea era quella di scomporre in fratti semplici l'integrando del primo integrale:
$1/((t - 1)^2 (t + 1)^2) = 1/(4 (t - 1)^2) - 1/(4 (t - 1)) + 1/(4 (t + 1)^2) + 1/(4 (t +1)) $
Poi fai come vuoi, puoi anche operare direttamente su $t/((t + 1)^3 (t - 1)^2) $
La mia idea era quella di scomporre in fratti semplici l'integrando del primo integrale:
$1/((t - 1)^2 (t + 1)^2) = 1/(4 (t - 1)^2) - 1/(4 (t - 1)) + 1/(4 (t + 1)^2) + 1/(4 (t +1)) $
Poi fai come vuoi, puoi anche operare direttamente su $t/((t + 1)^3 (t - 1)^2) $
"RP-1":
Sto facendo molta confusione [...]
Perché chi risponde non sta rispondendo alla tua domanda.
"RP-1":
In tal caso si avrebbe:
$\int (A_1/(t+1)+A_2/(t-1)+(text(d))/(text(d)t) [(\alpha_0+\alpha_1t+\alpha_2t^2)/((t+1)^2(t-1))]) text(d) t$, o sbaglio?
Non capisco il contributo che da il numeratore. Nel post da te linkato la semplificazione è definita in tal modo:
$f(x) = A_1/(x - alpha_1) + \cdots + A_m/(x - alpha_m) + (B_1x + C_1)/(x^2 + beta_1 x + gamma_1) +\cdots + (B_n x + C_n)/(x^2 + beta_n x + gamma_n) + (text(d))/(text(d) x)[(a_0+a_1x+\cdots + a_(q^** - 1) x^(q^** - 1))/(Q^**(x))]$
Giusto.
"RP-1":
e non mi sembra venga considerato il polinomio al numeratore nella funzione di partenza. Dunque non capisco il motivo dell'unità al numeratore. Dove mi perdo?
Se hai letto i fogli che ti ho linkato, si capisce che il numeratore gioca il suo ruolo quando si tratta di determinare i coefficienti della scomposizione.
Infatti, la determinazione dei coefficienti si fa imponendo la condizione:
$A_1/(t+1)+A_2/(t-1)+d/dt((\alpha_0+\alpha_1t+\alpha_2t^2)/((t+1)^2(t-1))) = 2t/((t+1)^3 (t-1)^2)$
ossia sfruttando il Principio di Identità dei Polinomi quando si uguagliano i due numeratori. Prova a terminare i conti.
Innanzitutto mi scuso per aver uppato il post dopo quasi due settimane, mi sono dedicato ad un altro esame ed avevo totalmente dimenticato questo argomento.
Ad ogni modo, ho sviluppato i conti proposti da gugo82 ottenendo un sistema impossibile:
${\(A_1+A_2-\alpha_2=0),(2A_2-2\alpha_1=0),(-2A_1-\alpha_2-\alpha_1-3\alpha_0=0),(-2A_2-2\alpha_2-2\alpha_0=2),(A_1-A_2+\alpha_0-\alpha_1=0):}$.
Dove sbaglio?
Ad ogni modo, ho sviluppato i conti proposti da gugo82 ottenendo un sistema impossibile:
${\(A_1+A_2-\alpha_2=0),(2A_2-2\alpha_1=0),(-2A_1-\alpha_2-\alpha_1-3\alpha_0=0),(-2A_2-2\alpha_2-2\alpha_0=2),(A_1-A_2+\alpha_0-\alpha_1=0):}$.
Dove sbaglio?
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