Formula di Guldino per superfici di rotazione

[borto97]

Ciao a tutti, un esercizio di analisi mi chiede di calcolare l'area della superficie esterna del solido $E$ generato dalla rotazione nel primo ottante di un quarto di giro attorno all’asse $x$ di $A = {(x,y):y\ge 0,2y^2\le ax\le a(y+a)}$ ($a>0$). Per calcolare le aree della parte conica e di quella a paraboloide vorrei usare il teorema di Guldino, che in tradotto in formule sarebbe
$$Area = \alpha\int_{\partial S}x\,dl$$
ma non riesco a capire come impostare l'integrale. La soluzione riporta che le due parti, essendo parametrizzate la prima da $(x,x-a)$ e la seconda da $\left(\frac{2z^2}{a},z\right)$ hanno rispettivamente area $\frac{\pi}{2}\int_{a}^{2a}(x-a)\sqrt{2}\dx$ e $\frac{\pi}{2}\int_{0}^{a} z\sqrt{\dfrac{16z^2}{a^2}+1}\dz$. Tuttavia non riesco a capire come sono stati impostati questi conti.

Qualcuno saprebbe aiutarmi? Grazie in anticipo!

[pilloeffe]

Ciao shot22,

Brevemente perché ho una connessione di rete un po' orrenda che al momento riesco ad usare solo di notte...
1) Non è chiaro com'è fatto $E $ perché non hai concluso la frase: generato dalla rotazione nel primo ottante di che cosa?
2) Se la rotazione è di un quarto di giro, al posto di $\alpha $ puoi scrivere $\pi/2 $
3) Nell'integrale che hai scritto compare $\partialA $: forse intendevi $\partialE $, diversamente... Cosa è $A$?

[borto97]

Chiedo scusa, mi sono perso un pezzo per strada, ora ho modificato il messaggio Per quanto riguarda le domande 2) e 3), la formula che ho scritto è quella generale (ho cambiato $A$ con $S$ nella formula per evitare confusione)