Formula di Eulero e funzioni iperboliche

[Giant_Rick]

Premetto una cosa, e cioè che delle funzioni iperboliche non so nulla, se non che esistono.

Dunque, secondo la formula di Eulero posso scrivere che:

\(\displaystyle cos \theta = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2} \) e che \(\displaystyle sin\theta =\frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i} \)

Se non erro, le funzioni seno iperbolico e coseno iperbolico sono:

\(\displaystyle cosh(x) = \frac{e^{x} + e^{-x}}{2} \) e che \(\displaystyle sinh(x) =\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \)

Sono molto simili, le formule di Eulero è come se fossero le funzioni iperboliche con argomento complesso (io ho ipotizzato che le prime funzionino in campo complesso, anche se non mi spiego il 2i a denominatore del seno, mentre le seconde funzionino solo nel campo reale); che nesso c'è? Come si arriva da una all'altra?

[Camillo]

La relazione di Eulero è $e^(i theta) = cos theta + i sin theta $ , da questa ricavi le varie relazioni.
Ad esempio verifichi che $ (e^(i theta)+e^(-itheta))/2 = 1/2( cos theta+i sin theta +cos theta -i sin theta ) = cos theta $
Questa relazione la posso anche scrivere $ Ch (itheta)= cos theta $ e analogamente $Sh(i theta)= i sin theta $ e pure
$sin(i theta)= i Sh (theta) $ che mostrano un forte legame tra funzioni circolari e iperboliche.

[Giant_Rick]

Penso di aver capito, grazie Camillo!

Tra l'altro la pagina della wikipedia inglese è molto accurata e precisa, mi ha aiutato molto!