Formula area superficie

Salivo44
Ciao, propongo qui un esercizio di Analisi II che mi chiede di calcolare l'area di una superficie.
Il punto è che non so quale formula applicare, sia sul libro di testo che sugli appunti ne trovo diverse. Tra l'altro ho una confusione tra Integrali di Superficie e Area. Qualcuno mi aiuta?


Sia S la superficie del paraboloide di equazione $z = 1−x^2−y^2$ contenuta nel semispazio $z ≥ 0$ ed orientata in modo che la terza componente della normale risulti positiva. Sia inoltre $F(x,y,z) = (y,x,e^z)$. Determinare l’area di S.

Risposte
dissonance
Cosa c'entra $F$? Non serve a niente. L'esercizio ti chiede di calcolare questo integrale:
\[
\iint_{S} dS,\]
dove \(dS\) è l'elemento di superficie. Devi *disegnare* il dominio, per prima cosa, altrimenti andrai alla cieca e sbaglierai quasi sicuramente. Fatto ciò, vai a vedere come si calcola l'elemento di superficie e cerchi di risolvere l'integrale. Quindi se vuoi puoi tornare qui, postare una soluzione o un tentativo di soluzione e la commentiamo.

Salivo44
Il campo vettoriale $F$ mi serviva per il punto successivo che non ho riportato, comunque sono arrivato a questo punto :

L'area della superficie $S$ è data dall'integrale del grafico della funzione $f(x,y,)$ dunque :

$intint_D sqrt(1+f_x^2 +f_y^2)$ , dunque : $intint_D sqrt(1+4(x^2+y^2))$ Ora ho pensato di utilizzare le coordinate polari :
${ x = rcostheta ,\ y=rsentheta}$ quindi ho : $int_0^(2pi)d theta int_0^1 rsqrt(1+4r^2)\ dr$ giusto?

dissonance
Hai sbagliato un segno, a parte quello ok. Adesso bisogna risolvere l'integrale.

Salivo44
Per parti non concludo nulla, deduco si debba risolvere con sostituzione. Ponendo $2r =$ qualcosa..

dissonance
...cosa succede? Hai provato? Come dico sempre, non chiedere conferma ad ogni passo, vedi di arrivare da qualche parte da solo, sbagliando e riprovando. Solo dopo chiedi. Altrimenti ti abitui ad essere imboccato e poi nella "vita vera" (oltre che agli esami) sono dolori.

In ogni caso, la presenza di quel termine $1+r^2$ (dopo aver effettuato la sostituzione che dici), fa venire in mente le sostituzioni trigonometriche per eliminare la radice quadrata. Però, porca miseria, se poniamo $r=\sin \theta$ otteniamo $1+\sin^2\theta$, che NON è uguale a $\cos^2\theta$... Ma ci sono le funzioni iperboliche, che verificano $\cosh^2(\zeta)-\sinh^2(\zeta)=1$. Che servano a qualcosa qui?

otta96
Non c'è bisogno di farla così complicata perché a moltiplicare si ha "quasi" la derivata di $1+r^2$, ci sarà un modo per sfruttarlo?

dissonance
Buh. Magari si. Se hai voglia, puoi provare a fare i conti. (Io non li faccio di sicuro :-) )

Salivo44
"dissonance":
...cosa succede? Hai provato? Come dico sempre, non chiedere conferma ad ogni passo, vedi di arrivare da qualche parte da solo, sbagliando e riprovando. Solo dopo chiedi. Altrimenti ti abitui ad essere imboccato e poi nella "vita vera" (oltre che agli esami) sono dolori.

In ogni caso, la presenza di quel termine $1+r^2$ (dopo aver effettuato la sostituzione che dici), fa venire in mente le sostituzioni trigonometriche per eliminare la radice quadrata. Però, porca miseria, se poniamo $r=\sin \theta$ otteniamo $1+\sin^2\theta$, che NON è uguale a $\cos^2\theta$... Ma ci sono le funzioni iperboliche, che verificano $\cosh(\zeta)-\sinh(\zeta)$. Che servano a qualcosa qui?


Ti potrà sembrare strano ma noi le funzioni trigonometiche non le abbiamo mai trattate quindi non so di cosa tu stia parlando..comunque hai ragione da ora in poi posto solo alla fine dei calcoli. Ora provo come ha suggerito otta96

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