Forme quadratiche definite studiando determinante e traccia

[borto97]

Ciao a tutti, come ben sapete il modo per studiare la natura dei punti critici è fare la matrice Hessiana e guardare determinante e traccia. Se determinante e traccia sono maggiori o uguali a zero, allora la matrice è semidefinita positiva, se le uguaglianze sono strette allora sarà definita positiva. Analogamente la matrice sarà (semi)definita positiva se determinante e traccia sono minori (o uguali) a zero.

Il mio dubbio è... cosa succede se sia determinante che traccia sono uguali a zero?

[gugo82]

Dipende... In generale, l'unica matrice $2xx2$ simmetrica che entrambi determinante e traccia nulli è la matrice nulla.
D'altra parte, se la matrice $2xx2$ non è simmetrica, allora essa ha due righe proporzionali, non è diagonalizzabile (poiché lo $0$ non ha le giuste molteplicità geometrica ed algebrica) ed è semidefinita.