Forme indeterminate in R^2
Salve, avrei bisogno di aiuto per questo problema:
praticamente, mi viene richiesto di trovare il campo di esistenza di questa funzione a 2 variabili: $f(x,y)=|x|ln(1+y)$ e di trovare poi il gradiente e relativo campo di esistenza e di verificare che la f(x,y) sia differenziabile nell'insieme di definizione del gradiente.
Ora, ho trovato le derivate parziali rispetto a x e y non usando la definizione di derivata parziale, e ho avuto:
$fx (x,y) = SIGN(x)*ln(1+y)$
$fy (x,y) = |x|/(1+y)$
e ho di conseguenza affermato che:
$fx (x,y) = x*ln(1+y)$ se |x| coincide con x, $fx (x,y) = (-x)*ln(1+y)$ se |x| coincide con -x.
$fy (x,y) = x/(1+y)$ se |x| coincide con x, $fy (x,y) = (-x)/(1+y)$ se |x| coincide con -x.
E' fatto bene secondo voi?
Dopodichè, per verificare di aver fatto bene, ho svolto le derivate parziali usando la definizione delle stesse;
per la $fx$ mi trovo $x*ln(1+y)$
mentre la $fy$ mi viene una forma indeterminata del tipo $0/0$.
Al contrario di quanto avveniva in analisi 1, è possibile affermare che in questo caso il limite faccia 0 o devo impegnarmi a trovare un modo di risolvere tale forma indeterminata?
Lo chiedo perchè è una situazione che capita in vari esercizi, e allo stato attuale ho sempre fatto sì che tale in situazione il limite facesse 0.
Grazie per le eventuali risposte.
praticamente, mi viene richiesto di trovare il campo di esistenza di questa funzione a 2 variabili: $f(x,y)=|x|ln(1+y)$ e di trovare poi il gradiente e relativo campo di esistenza e di verificare che la f(x,y) sia differenziabile nell'insieme di definizione del gradiente.
Ora, ho trovato le derivate parziali rispetto a x e y non usando la definizione di derivata parziale, e ho avuto:
$fx (x,y) = SIGN(x)*ln(1+y)$
$fy (x,y) = |x|/(1+y)$
e ho di conseguenza affermato che:
$fx (x,y) = x*ln(1+y)$ se |x| coincide con x, $fx (x,y) = (-x)*ln(1+y)$ se |x| coincide con -x.
$fy (x,y) = x/(1+y)$ se |x| coincide con x, $fy (x,y) = (-x)/(1+y)$ se |x| coincide con -x.
E' fatto bene secondo voi?
Dopodichè, per verificare di aver fatto bene, ho svolto le derivate parziali usando la definizione delle stesse;
per la $fx$ mi trovo $x*ln(1+y)$
mentre la $fy$ mi viene una forma indeterminata del tipo $0/0$.
Al contrario di quanto avveniva in analisi 1, è possibile affermare che in questo caso il limite faccia 0 o devo impegnarmi a trovare un modo di risolvere tale forma indeterminata?
Lo chiedo perchè è una situazione che capita in vari esercizi, e allo stato attuale ho sempre fatto sì che tale in situazione il limite facesse 0.
Grazie per le eventuali risposte.
Risposte
posta il procedimento che usi
"enr87":
posta il procedimento che usi
l'ho postato il procedimento..intendi per risolvere la forma 0/0?
Se è così, ho risolto mettendo 0, ma a questo punto la definizione di derivata parziale rispetto a y è diversa dalla derivata parziale rispetto a y SENZA usare la definizione, e quindi non so cosa fare
no, voglio vedere come ti calcoli le derivate parziali con la definizione (usando il limite presumo), e quindi come arrivi al risultato di $f_y$
"enr87":
no, voglio vedere come ti calcoli le derivate parziali con la definizione (usando il limite presumo), e quindi come arrivi al risultato di $f_y$
ah, ok, ti scrivo entrambe:
$fx = lim(h->0) (|x+h|ln(1+y)-|x|ln(1+y))/h = lim(h->0) ([ln(1+y)]*[|x+h-x|])/h = ln(1+y)$
$fy = lim(k->0) (|x|ln(1+k+y)-|x|ln(1+y))/k = lim(k->0) (|x|*[ln((1+k+y)/(1+y)])/k = 0/0$
sì, potresti usare gli sviluppi di mclaurin per vedere come va il limite (porta pure fuori la x). posto $ t = k/(1+y) $ con y diverso da -1 (per il C.E. del logaritmo), sai che $ ln(1+t) = t - t^2/2 + o(t^2) $. prova a continuare da qui.
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