Forme indeterminate

[n.icola114]

Scusatemi ma io non riesco a capire perchè

$x*log(x) = 0$ per $xrarr0^+$ e
$x*e^x = 0$ per $xrarr-oo$

ci sto su da un pò, ma niente proprio non capisco, sono grave vero?

[fireball1]

Sono limiti che si possono dimostrare
con il Teorema di De L'Hopital, o in maniera
più "raffinata" e "rigorosa" con il cosiddetto
"Teorema ponte" che non presuppone
la conoscenza di De L'Hopital. In ogni caso,
ti faccio vedere come usare De L'Hopital per dimostrarli:
$lim_(x->0^+) xlogx=lim_(x->0^+) (logx)/(1/x)
ora sia il numeratore che il denominatore sono
infiniti per $x->0^+$, quindi possiamo applicare
De L'Hopital, controllando se esiste il limite
del rapporto delle derivate. Se questo esiste,
allora è anche uguale al limite di partenza; se
non esiste non possiamo concludere nulla:
$lim_(x->0^+) (1/x)/(-1/x^2) = lim_(x->0^+) (-x)=0
quindi essendo il limite del rapporto delle
derivate esistente, esiste anche il limite di partenza
ed è uguale a 0.

Per il secondo limite, si ragiona in modo assolutamente
analogo, anzi, il secondo limite può essere visto
come una conseguenza del primo. Infatti, facendo
un cambio di variabile: $logx=y$, ovvero $x=e^y$, allora per $x->0^+$
si ha $y->-oo$, e dunque il limite diventa $lim_(y->-oo) ye^y=0
per il teorema del limite di funzioni composte.

[n.icola114]

Grazie fireball, mi sei stato veramente d'aiuto