Forme differenzili esatte
$\omega =(y^2-3y*cosx) *dx + (2xy - 3senx) *dy + 4z^3 *dz$
Fin'ora ho risolto esercizi dove coparivano 2 variabili, quì devo applicare lo stesso procedimento??
Io mi calcolavo $Aì_y$ e $B'_x$ e le confrontavo, ora come faccio ?
poi calcolavo $G(x,y)=int(A)dx$ e poi $G'_y(x,y)$
poi $c'_y=G'_y(x,y)-B$
ora come posso fare tutti questi passaggi se ho tre variabili ?
Fin'ora ho risolto esercizi dove coparivano 2 variabili, quì devo applicare lo stesso procedimento??
Io mi calcolavo $Aì_y$ e $B'_x$ e le confrontavo, ora come faccio ?
poi calcolavo $G(x,y)=int(A)dx$ e poi $G'_y(x,y)$
poi $c'_y=G'_y(x,y)-B$
ora come posso fare tutti questi passaggi se ho tre variabili ?
Risposte
E' lo stesso procedimento delle forme a 2 variabili, devi solo considerare che il gradiente è a 3 dimensioni e non a 2!
cioè devo calcolare $A_z$ $B_x$ e $C_y$ ?
e poi?
e poi?
Esattamente, se chiami $A=y^2-3y*cosx, B=2xy - 3senx, C=4z^3$ dovrai calcolarti $A_y , A_z , B_x , B_z , C_x , C_y $ e controllare se tornano le uguaglianze.
Grazie mille, e una volta fatto ciò come continuo l'esercizio ?
Per determinare se la forma differenziale è esatta devi verificare che risulti:
$A_y = B_x$
$A_z = C_x$
$B_z = C_y$
Poi credo che basti a meno che il tuo esercizio non ti chieda di determinare altre cose.
$A_y = B_x$
$A_z = C_x$
$B_z = C_y$
Poi credo che basti a meno che il tuo esercizio non ti chieda di determinare altre cose.
Si una volta verificata se è Esatta devo determiare l'integrale su $gamma$ ed è proprio quello che non riesco a fare
apparte che non vedo dove sia stato definito $\gamma$, comuque essendo esatta, contano solo i punti iniziali e finali di integrazione.
Cioè, puoi trovarti la primitiva $G(x,y,z)$ e fare $G(b) - G(b)$.
Se non riesci a trovare un integrale in maniera veloce, puoi collegare i 2 estremi con un percorso che vuoi ed integrare la forma diff. lungo quel percorso.
Cioè, puoi trovarti la primitiva $G(x,y,z)$ e fare $G(b) - G(b)$.
Se non riesci a trovare un integrale in maniera veloce, puoi collegare i 2 estremi con un percorso che vuoi ed integrare la forma diff. lungo quel percorso.
"stefano_89":
apparte che non vedo dove sia stato definito $\gamma$, comuque essendo esatta, contano solo i punti iniziali e finali di integrazione.
Cioè, puoi trovarti la primitiva $G(x,y,z)$ e fare $G(b) - G(b)$.
Se non riesci a trovare un integrale in maniera veloce, puoi collegare i 2 estremi con un percorso che vuoi ed integrare la forma diff. lungo quel percorso.
?????
hai detto che devi fare l' integrale lungo $\gamma$ (che è un percorso), quello è il metodo..
no devo calcolare la primitiva.
Volevo sapere come calcolare $ G(x,y,z)$ , per quella a due variabili $G(x,y)=int A* dx$
e poi mi calcolavo $c'(y)= G'(x,y) - B$
ora invece come faccio????
Volevo sapere come calcolare $ G(x,y,z)$ , per quella a due variabili $G(x,y)=int A* dx$
e poi mi calcolavo $c'(y)= G'(x,y) - B$
ora invece come faccio????
Procedi nello stesso identico modo del caso di due variabili.
In questo caso ti calcoli $G(x,y,z)=int(A)dx$ che fornisce $G(x,y,z)=xy^2-3y*senx+c(y,z)$
Adesso trovi $G'_y(x,y,z)-B$ e lo poni uguale a $0$ da cui ti accorgi che $c(y,z)$ dipende solo da $z$ cioè $c(y,z)=c(z)$
Infine trovi $G'_z(x,y,z)-C$ e anche questo lo poni uguale a $0$ da cui hai $c(z)=z^4$
Fammi sapere se ti è tutto chiaro. Ciao
In questo caso ti calcoli $G(x,y,z)=int(A)dx$ che fornisce $G(x,y,z)=xy^2-3y*senx+c(y,z)$
Adesso trovi $G'_y(x,y,z)-B$ e lo poni uguale a $0$ da cui ti accorgi che $c(y,z)$ dipende solo da $z$ cioè $c(y,z)=c(z)$
Infine trovi $G'_z(x,y,z)-C$ e anche questo lo poni uguale a $0$ da cui hai $c(z)=z^4$
Fammi sapere se ti è tutto chiaro. Ciao
"deserto":
Procedi nello stesso identico modo del caso di due variabili.
In questo caso ti calcoli $G(x,y,z)=int(A)dx$ che fornisce $G(x,y,z)=xy^2-3y*senx+c(y,z)$
Adesso trovi $G'_y(x,y,z)-B$ e lo poni uguale a $0$ da cui ti accorgi che $c(y,z)$ dipende solo da $z$ cioè $c(y,z)=c(z)$
Infine trovi $G'_z(x,y,z)-C$ e anche questo lo poni uguale a $0$ da cui hai $c(z)=z^4$
Fammi sapere se ti è tutto chiaro. Ciao
Allora vediamo se ho capito bene , ho fatto i passaggi come mi hai suggerito tu , ma il primo dubbio che ti volevo porre è :
quando pongo $G'_y(x,y,z)-B=0$ mi calcolo $c'_y(y,z)$ giusto ? (nel mio caso fa $0$ e quindi anche $c_y(y,z)$ fa $0$)
poi analogamente faccio l'altra derivata e ponendola uguale a $0$ ricavo $c'_z(y,z)=-4z^3$ corretto ?
ora mi svolgo l'integrale e ottengo $c_z(y,z)=-z^4$
quindi il mio risultato finale è :
$f(x,y,z)=G(x,y,z)+c_y(y,z)+c_z(y,z)$$=$$xy^2-3y*senx-z^4$ Corretto ?
Grazie
quando pongo $G'_y(x,y,z)-B=0$ mi calcolo $c'_y(y,z)$ giusto ?
Giusto
nel mio caso fa $0$ e quindi anche $c_y(y,z)$ fa $0$
$c'_y(y,z)$ fa $0$, da cui $c(y,z)$ non dipende dalla variabile $y$, quindi $c(y,z)=c(z)$
poi analogamente faccio l'altra derivata e ponendola uguale a $0$ ricavo $c'_z(y,z)=-4z^3$ corretto ?
Attenzione al segno: è $c'_z(y,z)=4z^3$ o meglio $c'(z)=4z^3$
quindi il mio risultato finale è :
$f(x,y,z)=G(x,y,z)+c_y(y,z)+c_z(y,z)$$=$$xy^2-3y*senx-z^4$ Corretto ?
$f(x,y,z)=G(x,y,z)+c'_y(y,z)+c'_z(z)=xy^2-3y*senx+z^4$
"deserto":
Attenzione al segno: è $c'_z(y,z)=4z^3$ o meglio $c'(z)=4z^3$
ecco è proprio qui che non mi trovo.
io ho fatto $c'_z=G'_z(x,y,z)-C$ li ho risolti sempre così , dove sbaglio ?
io ho fatto $c'_z=G'_z(x,y,z)-C$ li ho risolti sempre così , dove sbaglio ?
Devi considerare $G'_z(x,y,z)-C=0$, poi essendo, dai conti già fatti, $G'_z(x,y,z)=c'_z(z)$ hai subito $c'_z(z)-C=0$, cioè $c'_z(z)=C$ dove abbiamo posto $C=4z^3$
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