Forme differenziali: teoria

[Plepp]

Ciao ragazzi.
Sto aiutando la mia ragazza a preparare Analisi II e ci è capitato sotto mano un esercizio sulle forme differenziali. Guardando la soluzione che fornisce la Prof, c'è qualcosa che non mi torna magari (anzi, probabilmente) mi sbaglio, ma l'esercizio non va risolto cosi...

La forma differenziale è questa:
\[\omega(x,y)=\dfrac{-6xy}{(3x^2+y^2)^2}dx+\dfrac{3x^2-y^2}{(3x^2+y^2)^2}dy\]
La soluzione della Prof è la seguente:

I coefficienti della forma differenziale sono definiti per $(x, y) != (0,0)$. La forma differenziale
è chiusa. Calcolando l’integrale curvilineo lungo l’ellisse $\gamma$ di equazioni parametriche $x = cos t, y =\sqrt(3) sin t$, $t \in [0, 2]$ si ha $\int_\gamma \omega =0$, quindi per un noto teorema la forma differenziale è esatta.

E qual'è sto teorema???? Io sapevo che fosse vero il contrario, ovvero che
\[\omega\text{ esatta}\implies \int_\gamma \omega=0\]
per ogni curva chiusa e regolare a tratti $\gamma$.

Grazie in anticipo

[yellow2]

Quell'implicazione è doppia, come si verifica senza troppe difficoltà. Il teorema a cui ci si riferisce dev'essere quello per cui l'integrale su due cammini omotopi è uguale. Poi si sottointende che: i cammini che non girano attorno all'origine hanno integrale nullo perché omotopi al cammino costante, quelli che fanno un giro perché omotopi a quell'ellisse, quelli che fanno due giri dovrebbero essere omotopi a due volte quell'ellisse e così via. Insomma per giustificare tutto questo servono un po' di nozioni che vanno verso la topologia algebrica.

[Plepp]

Ciao yellow, grazie per esserti interessato!

"yellow":Quell'implicazione è doppia, come si verifica senza troppe difficoltà

Si giusto, perdonami, ho sbagliato a scrivere intendevo che $\omega$ esatta implica circuitazione nulla lungo una particolare $\gamma$ chiusa, ma non il contrario (che è quello che mi sembra stia dicendo la prof).

Riguardo queste nozioni:

. Il teorema a cui ci si riferisce dev'essere quello per cui l'integrale su due cammini omotopi è uguale. Poi si sottointende che: i cammini che non girano attorno all'origine hanno integrale nullo perché omotopi al cammino costante, quelli che fanno un giro perché omotopi a quell'ellisse, quelli che fanno due giri dovrebbero essere omotopi a due volte quell'ellisse e così via. Insomma per giustificare tutto questo servono un po' di nozioni che vanno verso la topologia algebrica.

non ne ho mai sentito parlare non si potrebbe giustificare (o smentire) il procedimento della Prof. in maniera un po' più elementare?

Grazie

[Sk_Anonymous]

@Plepp
Per comprendere meglio anche le considerazioni di yellow, basta che consideri le formule di Gauss–Green.

[poncelet]

OT

@speculor

Vedo che abbiamo un nuovo moderatore. I miei complimenti. Leggendo i tuoi interventi di questi ultimi mesi avevo proprio pensato che la tua candidatura sarebbe stata giusta. Buon lavoro.

[dissonance]

post444685.html#p444685

E' esattamente quello che dice yellow, comunque.

[yellow2]

Beh però come chiarezza non c'è paragone! Molto bello quel post.

[Sk_Anonymous]

@maxsiviero
Grazie e buon lavoro anche a te.

[Plepp]

"dissonance":https://www.matematicamente.it/forum/post444685.html#p444685

E' esattamente quello che dice yellow, comunque.

Grazie dissonace
il post è molto chiaro (quasi "for dummies") ed esauriente il problema è che sul libro che usa la mia ragazza non c'è questo teorema e non è stato nemmeno introdotto durante il corso...se non sbaglio il testo è il Fusco Marcellini Sbordone...io invece questa parte la studiai soprattutto dal Bramanti Pagani Salsa, poichè più che di forme differenziali abbiamo parlato di campi vettoriali, ma comunque non c'era traccia del teorema di Cauchy.
Magari sarà stato parte del programma di qualche anno fa, dato che l'esercizio svolto proviene da un appello non molto recente...boh

Grazie ancora!