Forme differenziali (in particolare in $R^3$, con esercizio)
Ciao ragazzi. Riprendendo in mano vecchi appunti mi sono venuti alcuni dubbi sulle forme differenziali. Vi pregherei di leggere le mie considerazioni "riassuntive" e dirmi se sono giuste:
Sia $A$ un dominio aperto in $R^n$ e sia $k\inZ$ t.c. $0leqkleqn$, allora la $k$-forma differenziale $w_k$ è definita come:
$w_k=\sum_{i_j=i_1}^(i_k) a_(i_j)(x_1,...,x_n)dx_(i_1)\wedgedx_(i_j)$ (con $\wedge$ prodotto esterno; in seguito lo darò per sottointeso)
dove le varie $a_(i_j):A\rightarrowR^n$ sono funzioni differenziabili.
Questa definizione mi è chiara; l'unico dubbio è sul fatto che mi aspetterei che $k\inN$ e non a $Z$. Come mai? Vista la limitazione $0leqkleqn$, non ne capisco proprio il senso.
Andando oltre, il vero dubbio è sull' "applicazione" della precedente definizione nei vari spazi $R^n$:
- in $R$ dovrei poter avere solo 2 forme differenziali
la 0-forma $w_0=a(x)$
la 1-forma $w_1=a_1(x)dx$
- in $R^2$ dovrei poter avere 3 forme differenziali
la 0-forma $w_0=a(x,y)$
la 1-forma $w_1=a_1(x,y)dx+a_2(x,y)dy$
la 2-forma $w_2=a(x,y)dxdy$
- in $R^3$ dovrei poter avere 4 forme differenziali
la 0-forma $w_0=a(x,y,z)$
la 1-forma $w_1=a_1(x,y,z)dx+a_2(x,y,z)dy+a_3(x,y,z)dz$
la 2-forma $w_2=a_1(x,y,z)dydz+a_2(x,y,z)dzdx+a_3(x,y,z)dxdy$
la 3-forma $w_3=a(x,y,z)dxdydz$
da cui, in buona sostanza, si può dire che le 0-forme altro non sono che funzioni differenziabili definite su $A$. Tutte considerazioni giuste?
Infine, passando alla pratica, ho questo esercizio che mi chiede di calcolare, con la formula di Green (ma non dovrebbe essere quella di Stokes?):
$\int x^3dydz+y^3dzdx+z^3dxdy$, su una sfera $S$ di raggio r centrata nell'origine, orientata con la normale verso l'interno.
Procederei così: $w_2=x^3dydz+y^3dzdx+z^3dxdy$, per cui mi ricavo $dw_2=3*(x^2+y^2+z^2)dxdydz$
Applicando il teorema di Stokes:
$\int_(\partialS) x^3dydz+y^3dzdx+z^3dxdy=3\int_S (x^2+y^2+z^2)dxdydz$ (con $\partialS$ frontiera di $S$)
A questo punto, passando alle coordinate sferiche mi semplifico un po' le cose e dovrei arrivare ad ottenere 0. Sbaglio?
Vi ringrazio per essere arrivati in fondo, e spero possiate darmi qualche suggerimento nel caso di qualche mia castroneria.
Sia $A$ un dominio aperto in $R^n$ e sia $k\inZ$ t.c. $0leqkleqn$, allora la $k$-forma differenziale $w_k$ è definita come:
$w_k=\sum_{i_j=i_1}^(i_k) a_(i_j)(x_1,...,x_n)dx_(i_1)\wedgedx_(i_j)$ (con $\wedge$ prodotto esterno; in seguito lo darò per sottointeso)
dove le varie $a_(i_j):A\rightarrowR^n$ sono funzioni differenziabili.
Questa definizione mi è chiara; l'unico dubbio è sul fatto che mi aspetterei che $k\inN$ e non a $Z$. Come mai? Vista la limitazione $0leqkleqn$, non ne capisco proprio il senso.
Andando oltre, il vero dubbio è sull' "applicazione" della precedente definizione nei vari spazi $R^n$:
- in $R$ dovrei poter avere solo 2 forme differenziali
la 0-forma $w_0=a(x)$
la 1-forma $w_1=a_1(x)dx$
- in $R^2$ dovrei poter avere 3 forme differenziali
la 0-forma $w_0=a(x,y)$
la 1-forma $w_1=a_1(x,y)dx+a_2(x,y)dy$
la 2-forma $w_2=a(x,y)dxdy$
- in $R^3$ dovrei poter avere 4 forme differenziali
la 0-forma $w_0=a(x,y,z)$
la 1-forma $w_1=a_1(x,y,z)dx+a_2(x,y,z)dy+a_3(x,y,z)dz$
la 2-forma $w_2=a_1(x,y,z)dydz+a_2(x,y,z)dzdx+a_3(x,y,z)dxdy$
la 3-forma $w_3=a(x,y,z)dxdydz$
da cui, in buona sostanza, si può dire che le 0-forme altro non sono che funzioni differenziabili definite su $A$. Tutte considerazioni giuste?
Infine, passando alla pratica, ho questo esercizio che mi chiede di calcolare, con la formula di Green (ma non dovrebbe essere quella di Stokes?):
$\int x^3dydz+y^3dzdx+z^3dxdy$, su una sfera $S$ di raggio r centrata nell'origine, orientata con la normale verso l'interno.
Procederei così: $w_2=x^3dydz+y^3dzdx+z^3dxdy$, per cui mi ricavo $dw_2=3*(x^2+y^2+z^2)dxdydz$
Applicando il teorema di Stokes:
$\int_(\partialS) x^3dydz+y^3dzdx+z^3dxdy=3\int_S (x^2+y^2+z^2)dxdydz$ (con $\partialS$ frontiera di $S$)
A questo punto, passando alle coordinate sferiche mi semplifico un po' le cose e dovrei arrivare ad ottenere 0. Sbaglio?
Vi ringrazio per essere arrivati in fondo, e spero possiate darmi qualche suggerimento nel caso di qualche mia castroneria.
Risposte
Più di 50 visualizzazioni e nessuna risposta; possibile che non ci sia nessuno che può darmi una mano? 
Per prima cosa un appunto sulla "notazione": una $k$-forma è un oggetto scritto come
$$\omega=\sum_{i_1\le i_2\le\ldots\le i_k} a_{i_1 i_2 \ldots i_k} dx_{i_1}\wedge \ldots\wedge\ dx_{i_k}$$
Quelle che hai scritto tu sono $2$-forme e, a ben guardare, neanche quelle generali.
Per quanto riguarda le tipologie di forme in $RR^n$ che hai scritto, hai centrato tutto in pieno, compresa l'osservazione sulle zero forme. Ti faccio notare che la notazione senza i prodotti esterni è assunta per praticità, ma ricordati sempre che una forma differenziale è antisimmetrica in tutti i suoi argomenti: in parole povere
$$dx\wedge\ dy=-dy\wedge\ dx$$
tanto per dirne una. Per cui la notazione senza i wedge in qualche modo mette insieme tutti i termini in cui sono presenti gli stessi "differenziali" tenendo conto del segno, e quindi le due forme
$$x\ dx\wedge\ dy+y\ dy\wedge\ dx$$
e
$$(x-y)\ dx\ dy$$
rappresentano la stessa forma.
Infine, sull'esercizio, salvo io starei attento alle notazioni. Visto che $S$ rappresenta la sfera, indicherei $S=\partial B$ che rappresenta la palla di cui $S$ è frontiera/bordo. Inoltre usando il teorema da te citato si ha
$$\int_S\omega=3\int_B (x^2+y^2+z^2)\ dx\ dy\ dz=$$
passando a coordinate sferiche
$$x=\rho\sin\phi\cos\theta,\quad y=\rho\sin\phi\sin\theta,\quad z=\rho\cos\phi,\qquad \rho\in[0,r],\ \phi\in[0,\pi],\ \theta\in[0,2\pi]$$
si ha l'integrale (lo jacobiano è $J=\rho^2\sin\phi$)
$$3\int_0^{2\pi}\int_0^\pi\int_0^r \rho^4\sin\phi\ d\rho\ d\phi\ d\theta=3\left[\theta\right]_0^{2\pi}\cdot\left[-\cos\phi\right]_0^\pi\cdot\left[\rho^5/5\right]_0^r=3\cdot 2\pi\cdot 2\cdot\frac{r^5}{5}=\frac{4}{5}\pi r^5$$
(del resto è abbastanza strano che integrando una quantità sempre positiva nella sfera - il suo raggio - venga zero, non ti pare?)
$$\omega=\sum_{i_1\le i_2\le\ldots\le i_k} a_{i_1 i_2 \ldots i_k} dx_{i_1}\wedge \ldots\wedge\ dx_{i_k}$$
Quelle che hai scritto tu sono $2$-forme e, a ben guardare, neanche quelle generali.
Per quanto riguarda le tipologie di forme in $RR^n$ che hai scritto, hai centrato tutto in pieno, compresa l'osservazione sulle zero forme. Ti faccio notare che la notazione senza i prodotti esterni è assunta per praticità, ma ricordati sempre che una forma differenziale è antisimmetrica in tutti i suoi argomenti: in parole povere
$$dx\wedge\ dy=-dy\wedge\ dx$$
tanto per dirne una. Per cui la notazione senza i wedge in qualche modo mette insieme tutti i termini in cui sono presenti gli stessi "differenziali" tenendo conto del segno, e quindi le due forme
$$x\ dx\wedge\ dy+y\ dy\wedge\ dx$$
e
$$(x-y)\ dx\ dy$$
rappresentano la stessa forma.
Infine, sull'esercizio, salvo io starei attento alle notazioni. Visto che $S$ rappresenta la sfera, indicherei $S=\partial B$ che rappresenta la palla di cui $S$ è frontiera/bordo. Inoltre usando il teorema da te citato si ha
$$\int_S\omega=3\int_B (x^2+y^2+z^2)\ dx\ dy\ dz=$$
passando a coordinate sferiche
$$x=\rho\sin\phi\cos\theta,\quad y=\rho\sin\phi\sin\theta,\quad z=\rho\cos\phi,\qquad \rho\in[0,r],\ \phi\in[0,\pi],\ \theta\in[0,2\pi]$$
si ha l'integrale (lo jacobiano è $J=\rho^2\sin\phi$)
$$3\int_0^{2\pi}\int_0^\pi\int_0^r \rho^4\sin\phi\ d\rho\ d\phi\ d\theta=3\left[\theta\right]_0^{2\pi}\cdot\left[-\cos\phi\right]_0^\pi\cdot\left[\rho^5/5\right]_0^r=3\cdot 2\pi\cdot 2\cdot\frac{r^5}{5}=\frac{4}{5}\pi r^5$$
(del resto è abbastanza strano che integrando una quantità sempre positiva nella sfera - il suo raggio - venga zero, non ti pare?)
Innanzitutto grazie per la risposta 
Per quanto riguarda la notazione, in effetti quella era introdotta per giustificare le 2-forme e subito ero partito a scrivere il post volendo approfondire solo l'esercizio, in cui appunto compare una 2-forma. Poi già che c'ero ho aggiunto le altre considerazioni e alla fine si è un po' confuso il tutto.
Per il prodotto esterno, grazie per la puntualizzazione ma in effetti quell'aspetto mi è chiaro visto che l'avevo potuto "toccare con mano" quando ero andato a ricavarmi i vari $dw_K$.
Infine, per l'esercizio, lo 0 mi suonava strano ed in effetti temevo di aver sbagliato qualcosa nell'applicazione del teorema. Invece, rivedendolo, ho fatto un errore negli estremi di integrazione (ero andato a memoria, convintissimo, e avevo preso per entrambi $2pi$)
L'unica cosa che non mi è del tutto chiara è se sia più giusto parlare di applicazione del teorema di Stokes o di Green. Da quel che ho capito Stokes è un teorema che riguarda le forme differenziali in generale, mentre Green, teorema del rotore e della divergenza sono dei casi che si "particolarizzano" quando si ha a che fare con linee piuttosto che con superfici. Ma, in soldoni, si potrebbe dire che per "passare", in $R^3$, da una 2-forma ad una 3-forma uso Stokes (come in questo caso), mentre, in $R^2$, per "passare" da una 1-forma ad una 2-forma ci si può "limitare" ad usare Green?
-
Per quanto riguarda la notazione, in effetti quella era introdotta per giustificare le 2-forme e subito ero partito a scrivere il post volendo approfondire solo l'esercizio, in cui appunto compare una 2-forma. Poi già che c'ero ho aggiunto le altre considerazioni e alla fine si è un po' confuso il tutto.
Per il prodotto esterno, grazie per la puntualizzazione ma in effetti quell'aspetto mi è chiaro visto che l'avevo potuto "toccare con mano" quando ero andato a ricavarmi i vari $dw_K$.
Infine, per l'esercizio, lo 0 mi suonava strano ed in effetti temevo di aver sbagliato qualcosa nell'applicazione del teorema. Invece, rivedendolo, ho fatto un errore negli estremi di integrazione (ero andato a memoria, convintissimo, e avevo preso per entrambi $2pi$)
L'unica cosa che non mi è del tutto chiara è se sia più giusto parlare di applicazione del teorema di Stokes o di Green. Da quel che ho capito Stokes è un teorema che riguarda le forme differenziali in generale, mentre Green, teorema del rotore e della divergenza sono dei casi che si "particolarizzano" quando si ha a che fare con linee piuttosto che con superfici. Ma, in soldoni, si potrebbe dire che per "passare", in $R^3$, da una 2-forma ad una 3-forma uso Stokes (come in questo caso), mentre, in $R^2$, per "passare" da una 1-forma ad una 2-forma ci si può "limitare" ad usare Green?
-
Dunque, il Teorema di Stokes, di per sé, viene enunciato nel caso di forme differenziali e di varietà, nel senso seguente: se $\omega$ è una $(n-1)$-forma a supporto compatto definita su $\partial M$ e $M$ una varietà con forntiera $\partial M$, allora
$$\int_{\partial M} \omega=\int_M d\omega$$
Ora, a seconda che tu sia in $RR^2$ o $RR^3$ tale teorema si riscrive come
$$\int_{\partial M} (a\ dx+ b\ dy)=\int_M (a_{y}-b_x)\ dx\ dy$$
$$\int_{\partial M} (a\ dx\ dy+b\ dx\ dz+ c\ dy\ dz)=\int_M(a_z-b_y+c_x)\ dx\ dy\ dz$$
Puoi osservare che in $RR^2$ tale teorema equivale a quello che normalmente viene chiamato Teorema di Green, in $RR^3$ al teorema del rotore. (Osserva che metto i segni alternati a causa della cosa che dicevo prima sull'antisimmetria. Nell'esercizio che hai proposto, i differenziali sono già messi in un ordine tale per cui non è necessario cambiare segni).
$$\int_{\partial M} \omega=\int_M d\omega$$
Ora, a seconda che tu sia in $RR^2$ o $RR^3$ tale teorema si riscrive come
$$\int_{\partial M} (a\ dx+ b\ dy)=\int_M (a_{y}-b_x)\ dx\ dy$$
$$\int_{\partial M} (a\ dx\ dy+b\ dx\ dz+ c\ dy\ dz)=\int_M(a_z-b_y+c_x)\ dx\ dy\ dz$$
Puoi osservare che in $RR^2$ tale teorema equivale a quello che normalmente viene chiamato Teorema di Green, in $RR^3$ al teorema del rotore. (Osserva che metto i segni alternati a causa della cosa che dicevo prima sull'antisimmetria. Nell'esercizio che hai proposto, i differenziali sono già messi in un ordine tale per cui non è necessario cambiare segni).
Perfetto, è proprio come pensavo. Grazie mille per l'aiuto!! 
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo