Forme differenziali in aperti stellati dello spazio

[Marcolino49]

Sto affrontando la dimostrazione del teorema seguente:
$omega$ forma differenziale chiusa in un aperto stellato $A$ dello spazio $RR^3$ $=>$ $omega$ esatta.

Per semplicità ho supposto l'aperto stellato rispetto all'origine, pertanto il segmento $gamma$ di equazioni parametriche $x=x(t)=xt$ ; $y=y(t)=yt$ ; $z=z(t)=zt$ è contenuto nello stellato per $ tin [0,1] $ .

Pertanto ho definito la funzione

$ f(x, y, z) = int_gamma omega= int_gamma a(x, y, z)dx+ b(x, y, z)dy+c(x, y, z) dz $

E cerco di dimostrare che questa è una primitiva della forma $omega$.
Per prima cosa esplicito l'integrale al secondo membro e dunque scrivo:

$ f(x, y, z) =int_0^1 {a(x(t), y(t), z(t))dx/dt + b(x(t), y(t), z(t))dy/dt +c(x(t), y(t), z(t))dz/dt} dt $

$=int_0^1 {a(xt, yt, zt)x + b(xt, yt, zt)y+c(xt, yt, zt)z} dt $

Per snellire la notazione scrivo il vettore $v=(xt, yt, zt)$
Derivo inizialmente rispetto x e vedo che

$ (partialf(x,y,z))/(partial x)=int_0^1 {a(v)+(partiala)/(partialx)(v)x+(partialb)/(partialx)(v)y+(partialc)/(partialx)(v)z}dt $

Ma questo è sbagliato secondo il libro, in quanto ogni membro della somma interna all'integrale dopo $a(v)$ deve essere moltiplicato per $t$ ma io non riesco a capire questo $t$ da dove salta fuori...

Sarei davvero grato se qualcuno potesse spiegarmelo.

[gugo82]

Ti dimentichi che $a(v)$ e gli altri due addendi sono funzioni composte e si derivano come tali.