Forme differenziali esatte e primitiva

[kekkopf]

salve,volevo avere una mano a risolvere quest'esercizio:
"verificare che la forma differenziale:
1/x^2 y dx - (xlogy-1)/x y^2 dy
è esatta e calcolare una primitiva"

verifico prima se è chiusa.non essendo chiusa,perche le derivate in a e b sono diverse,non dovrebbe essere neanche esatta e quindi non posso cercare neanche la primitiva??(anche se penso che il ragionamento sia sbagliato,se no sarebbe troppo sempliceXD)

[kekkopf]

ragazzi scusate se uppo già,ma ho lìesame domani,e quindi la cosa è urgente XD grazieeeeeeee

[vict85]

Dovresti usare le formule.

È $(y)/(x^2) dx - (x logy -1)/x y^2 dy$ ?

La condizione che è chiusa equivale (in questo caso) a $(del P)/(del y) = (del Q)/(del x)$, cioè se $(del)/(del y) (y)/(x^2) = (del)/(del x) (1 - x logy)/x y^2 $.

$(del)/(del y) (y)/(x^2) = 1/(x^2) (del y)/(del y) = 1/(x^2)$

$(del)/(del x) (1 - x logy)/x y^2 = y^2 (del)/(del x) (1 - x logy)/x = y^2 (-xlogy - (1 - x logy))/x^2 = - (y^2)/(x^2)$

Si direi che non può essere chiusa.

D'altra parte, con un po' di abuso di notazione:

$int (y)/(x^2) dx = -y/x + C(y)$
$int (1-x logy)/x y^2 dy = x^{-1}int y^2 dy -int y^2logy dy = (y^3)/(3x) - y^3/9 (3 logy-1) + F(x) = ( 3y^3 - 3y^3logy - y^3)/(9x) + F(x) = ( y^3(2 - 3logy))/(9x) + F(x) $

E' evidente che i due integrali non possono coincidere.