Forme differenziali esatte e chiuse

[Silente]

Sto cercando di capire il legame che sussiste tra l'esattezza di una forma differenziale chiusa e il tipo di dominio in cui quest'ultima è definita.
In particolare, il mio libro di testo (Zorich, Mathematical Analysis II, pag. 296) mi propone il Lemma di Poincaré:

Una forma differenziale chiusa in una palla, è lì anche esatta.

Fin qui ok. Poi l'autore aggiunge: il lemma può anche essere letto equivalentemente dicendo "ogni punto del dominio di definizione della forma differenziale \(\displaystyle \omega \) in cui vale \(\displaystyle \mathrm{d}\omega=0 \) ha un intorno in cui \(\displaystyle \omega \) è esatta."
Non capisco quest'ultima affermazione. Se la condizione \(\displaystyle \mathrm{d}\omega=0 \) è valida in un punto $x$, mica automaticamente è valida in tutti i punti di un opportuno intorno di $x$?

[megas_archon]

E invece questo è precisamente ciò che dice il lemma di Poincaré (quando, beninteso, lo spazio di definizione è abbastanza decente: ogni punto deve avere un intorno contraibile.)

[Silente]

Quindi è l'enunciato che non ha scritto bene?

Testualmente: If a form is closed in a ball, then it is exact there.

Per me la frase che descrive l'ipotesi del lemma ha un significato diverso, perché interpreto diversamente 'closed in a ball' rispetto a 'vale \( \displaystyle \mathrm{d}\omega=0 \) nel punto $x$'.

Scusami se rompo, ma non capisco ancora.

[dissonance]

Per come lo hai scritto è falso. Come giustamente dici, se $d omega$ si annulla solo in un punto non si può concludere proprio un bel niente.

[Silente]

Ottimo, grazie mille @dissonance.