Forme Differenziali Esatte

[Xtony92]

Salve ragazzi vorrei un chiarimemtno riguardo Forme Differenziali Esatte.
Qaundo svolgo l'es dopo aver trovato che è chiusa dovrei capire se è esatta studiando il dominio e risulta essere esatta nel caso ho un dominio semplicemnte connesso ma non riesco a distinguerlo come posso fare
cioè tipo \(\displaystyle y>-1 \) e \(\displaystyle x=/1 \) lo slash significa diverso è semplicemnte connesso? grazie

[Plepp]

Fondamentalmente, un dominio semplicemente connesso $D$ è tale quando è connesso (suppongo che tu conosca la definizione di insieme connesso) e non ha "buchi": quindi puoi immaginare di far degenerare ad un punto (di $D$) una qualsiasi curva chiusa in esso contenuta, senza mai "uscire" da $D$.
Il tuo dominio non risponde a questa "definizione": il fatto che debba essere $x \ne 1$ crea un "buco" nel semipiano $y> -1$.

[Xtony92]

se fosse stato solo y>-1

[Plepp]

Allora sarebbe stato semplicemente connesso...niente "buchi"...

[Xtony92]

Non essendo connesso la mia forma non è esatta o potrbbe essere non esatta.cioè il semplicemnte connesso è una condizione necessaria e sufficiente o no?

[Xtony92]

ovviamente essendo già chiusa

[Plepp]

Non ho capito bene il tuo problema.

$\omega$ chiusa, $D$ semplicemente connesso $\implies$ $\omega$ esatta.

Se $D$ non è semplicemente connesso, devi verificare in altri modi se $\omega$ è esatta o meno.

[Xtony92]

Il mio problema è, se ho un dominio che non è semplicemnte connesso la forma può essere lo stesso esatta?

[Plepp]

Beh, la risposta era implicita nel mio post precedente: si, può essere esatta.
Prova a dare un'occhiata al tuo testo di riferimento

[Xtony92]

L'occhiata l'ho data solo non avevo capito questo passaggio, ed è vero che per verificare se è esatta basta considerare una qualunque curva contentuta nel dominio e se il suo integrale curvilineo è 0 la forma è esatta? questa ultima prova mi permette di dire che è esatta nel domiono o localmente esatta?