Forme differenziali esatte
Salve a tutti ho un grande dubbio su su due esercizi sulle forme differenziali. Metto qui di seguito due esercizi a confrono. Il primo svolto dal libro e il secondo svolto da me e noto un paio di differenze che non mi sono molto chiare!
In generale una primitiva di una forma differenziale si calcola come segue:
Sia $\omega=a(x,y) dx + b(x,y) dy$ una forma differeniale esatta. Calcolare una sua primitiva.
Se $f_x=a$ e integrando in $x$ si trova:
$\f(x,y)= int a(x,y) dx + g(y)$ con $g(y)$ da determinare.
Ponendo $f_y=b$ si trova un'equazione in $g'(y)$ , che mediante integrale rispetto a $y$ fornisce $g(y)$ e di conseguenza $f(x,y)$
Il primo esercizio svolto dal libro è il seguente:
Calcolare una primitiva della seguente forma differenziale $ \omega=(2x+5y^3) dx + (15xy^2 +2y ) dy $
Allo scopo di determinare una primitiva di $f$ di $\omega$, risolviamo l'equazione
$f_x (x,y) = a (x,y) = 2x+5y^3$
Integrando rispetto a $x$ , si ha $x^2+5xy^3 + g(y)$
con $g(y)$ da determinare . L'equazione $f_y=b$ diviene perciò
$15xy^2 + g'(y) = 15xy^2 + 2y $ .
A questo punto mi sorge il primo dubbio. Nell'equazione scritta sopra perchè al primo membro c'è solo $15xy^2$ mentre al secondo membro è prsente tutto $b$ cioè $15xy^2 + 2y $? Proprio non riesco a capire.
Tornando all'esercizio si ottiene che $g'(y)=2y$ . Una soluzione è $g(y)=y^2$ . Pertanto la funzione $f(x,y) = x^2+5xy^3+y^2$ è una primitiva di $\omega$
Il secondo esercizio è quello che ho svolto io; ed è il seguente:
Calcolare una primitiva della forma differenziale
$\omega = y(y+3x^2) dx + x(2y + x^2) dy$
(Ometto i passaggi per non dilungare troppo la domanda).
Se ho svolto l'esercizio in modo corretto dovrebbe essere
$f(x,y) = \int y(y+3x^2) dx + g(y) =xy^2 + x^3y + g(y)$
A questo punto dovrei calcolare la $g(y)$ ma guardando il risultato dell'esercizio sul libro noto con molto stupore che il risultato è lo stesso dell'integrale scritto sopra, cioè $xy^2 + x^3y $.
Allora la domanda che mi pongo è la seguente : quando è che devo calcolare la $g(y)$ e quando no. Proprio non riesco a capire.
Grazie in anticipo:
In generale una primitiva di una forma differenziale si calcola come segue:
Sia $\omega=a(x,y) dx + b(x,y) dy$ una forma differeniale esatta. Calcolare una sua primitiva.
Se $f_x=a$ e integrando in $x$ si trova:
$\f(x,y)= int a(x,y) dx + g(y)$ con $g(y)$ da determinare.
Ponendo $f_y=b$ si trova un'equazione in $g'(y)$ , che mediante integrale rispetto a $y$ fornisce $g(y)$ e di conseguenza $f(x,y)$
Il primo esercizio svolto dal libro è il seguente:
Calcolare una primitiva della seguente forma differenziale $ \omega=(2x+5y^3) dx + (15xy^2 +2y ) dy $
Allo scopo di determinare una primitiva di $f$ di $\omega$, risolviamo l'equazione
$f_x (x,y) = a (x,y) = 2x+5y^3$
Integrando rispetto a $x$ , si ha $x^2+5xy^3 + g(y)$
con $g(y)$ da determinare . L'equazione $f_y=b$ diviene perciò
$15xy^2 + g'(y) = 15xy^2 + 2y $ .
A questo punto mi sorge il primo dubbio. Nell'equazione scritta sopra perchè al primo membro c'è solo $15xy^2$ mentre al secondo membro è prsente tutto $b$ cioè $15xy^2 + 2y $? Proprio non riesco a capire.
Tornando all'esercizio si ottiene che $g'(y)=2y$ . Una soluzione è $g(y)=y^2$ . Pertanto la funzione $f(x,y) = x^2+5xy^3+y^2$ è una primitiva di $\omega$
Il secondo esercizio è quello che ho svolto io; ed è il seguente:
Calcolare una primitiva della forma differenziale
$\omega = y(y+3x^2) dx + x(2y + x^2) dy$
(Ometto i passaggi per non dilungare troppo la domanda).
Se ho svolto l'esercizio in modo corretto dovrebbe essere
$f(x,y) = \int y(y+3x^2) dx + g(y) =xy^2 + x^3y + g(y)$
A questo punto dovrei calcolare la $g(y)$ ma guardando il risultato dell'esercizio sul libro noto con molto stupore che il risultato è lo stesso dell'integrale scritto sopra, cioè $xy^2 + x^3y $.
Allora la domanda che mi pongo è la seguente : quando è che devo calcolare la $g(y)$ e quando no. Proprio non riesco a capire.
Grazie in anticipo:
Risposte
"Alpha88":
A questo punto mi sorge il primo dubbio. Nell'equazione scritta sopra perchè al primo membro c'è solo $15xy^2$ mentre al secondo membro è prsente tutto $b$ cioè $15xy^2 + 2y $? Proprio non riesco a capire.
devi derivare rispetto ad $y$ il risultato del passaggio precedente ed ottieni proprio $15xy^2+g'(y)$
"Alpha88":
Allora la domanda che mi pongo è la seguente : quando è che devo calcolare la $g(y)$ e quando no. Proprio non riesco a capire.
la $g(y)$ è sempre presente ma in questo caso è costante, siccome le costanti non influenzano la cosa il libro sceglie come costante $g=0$
Grazie mille!!!! Mi hai aiutato a risolvere un grande problema!!!
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