Forme differenziali esatte
Ciao a tutti,
facevo un esercizio in cui si dimostrava che $x/(x^2+y^2) dy- y/(x^2+y^2)dx$ non è una forma esatta ma lo è in $ x>0, x<0$ in cui ottengo per $x>0$ una primitiva $arctan( y/x) + c$ mentre per $x<0$ $ arctan (y/x)+ d$ con $c != d$.
Il libro commenta dicendo che le due primitive potrebbero coincidere se non fosse che in realtà c'è un "salto" di $3/2 \pi - (- \pi/2) = 2\pi$.. da dove viene questo salto??
facevo un esercizio in cui si dimostrava che $x/(x^2+y^2) dy- y/(x^2+y^2)dx$ non è una forma esatta ma lo è in $ x>0, x<0$ in cui ottengo per $x>0$ una primitiva $arctan( y/x) + c$ mentre per $x<0$ $ arctan (y/x)+ d$ con $c != d$.
Il libro commenta dicendo che le due primitive potrebbero coincidere se non fosse che in realtà c'è un "salto" di $3/2 \pi - (- \pi/2) = 2\pi$.. da dove viene questo salto??
Risposte
Prova a calcolare $\lim_{x\to 0^+} arctan(y/x)+c$ e $\lim_{x\to 0^-}arctan(y/x)+d$
Paola
Paola
si effettivamente è vero.. ma nello svolgimento però specifica che basta porre $c=0 $ e poi fare $ y<0:lim _(x to +infty) arctan(y/x)+c= \pi/2 $, $ y<0:lim _(x to +infty) arctan(y/x)+c= -\pi/2$ e per il caso invece $x<0$ fare $ y>0:c=\pi$ e $ lim _(x to -infty) arctan(y/x)+d= \pi/2$, $ y<0: lim _(x to -infty) arctan(y/x)+d=3 /2\pi$,ma non è che vedo molto senso..
comunque ritornando a quello che hai mostrato tu ripensandoci usce che il primo limite è $\pi/2$ menre il secondo $ -\pi/2$.. quindi non ottengo un salto di $2\pi$
Se lasci le costanti espresse e provi a imporre una condizione che renda il potenziale continuo per $y>0$ e $y<0$ ottieni due relazioni incompatibili.
Per $y>0$ avresti : $lim_(x->0^+) arctan(y/x) + c = pi/2 + c = lim_(x->0^-) arctan(y/x) + d = -pi/2 + d$ da cui ottieni $d - c = pi$.
Per $y<0$ invece : $lim_(x->0^+) arctan(y/x) + c = -pi/2 + c = lim_(x->0^-) arctan(y/x) + d = pi/2 + d$ da cui ottieni $d - c = -pi$.
Se sottrai le due relazioni ottieni $2pi = 0 $, più impossibile di così..
Per $y>0$ avresti : $lim_(x->0^+) arctan(y/x) + c = pi/2 + c = lim_(x->0^-) arctan(y/x) + d = -pi/2 + d$ da cui ottieni $d - c = pi$.
Per $y<0$ invece : $lim_(x->0^+) arctan(y/x) + c = -pi/2 + c = lim_(x->0^-) arctan(y/x) + d = pi/2 + d$ da cui ottieni $d - c = -pi$.
Se sottrai le due relazioni ottieni $2pi = 0 $, più impossibile di così..
Vediamo se ho capito
nel primo caso $y>0$ ho che le due primitive sono uguali solo se differiscono di $\pi$ le costanti quindi se c'è un salto di $\pi$
per $y<0$ invece è di $-\pi$.. fin qui è giusto?
nel primo caso $y>0$ ho che le due primitive sono uguali solo se differiscono di $\pi$ le costanti quindi se c'è un salto di $\pi$
per $y<0$ invece è di $-\pi$.. fin qui è giusto?
Yes, ed è proprio questo l'assurdo: non puoi avere due numeri la cui differenza assuma due valori diversi.
si perchè $d-c$ è una costante fissa.. grazie! però come fa il libro non l'ho mica capito.. seguirò il tuo ragionamento
Il tuo libro per forza di cosa sta cercando di dirti quello che ti ho detto io.
C'è un altro modo di dimostrare che quella forma differenziale non è esatta in $RR^2 - {0}$, e consiste nel calcolarti l'integrale di linea di questa su una curva chiusa che gira intorno all'origine e osservare che non è nullo per ogni curva chiusa tu scelga.
Però non sono sicuro basti il teorema di caratterizzazione delle forme differnziali esatte per dire a questo punto che quella non lo è. Dovrei controllare, ma il metodo del tuo libro è sicuramente più diretto e illuminante.
C'è un altro modo di dimostrare che quella forma differenziale non è esatta in $RR^2 - {0}$, e consiste nel calcolarti l'integrale di linea di questa su una curva chiusa che gira intorno all'origine e osservare che non è nullo per ogni curva chiusa tu scelga.
Però non sono sicuro basti il teorema di caratterizzazione delle forme differnziali esatte per dire a questo punto che quella non lo è. Dovrei controllare, ma il metodo del tuo libro è sicuramente più diretto e illuminante.
"Giuly19":
C'è un altro modo di dimostrare che quella forma differenziale non è esatta in $RR^2 - {0}$, e consiste nel calcolarti l'integrale di linea di questa su una curva chiusa che gira intorno all'origine e osservare che non è nullo per ogni curva chiusa tu scelga.
Basta che sia non nullo anche su una sola curva chiusa, e la forma non è esatta. Da come hai scritto sembra che tocchi verificarlo su tutte, è una piccola imprecisione.
Sì lo so che ne basta una, ma non ricordo se è solo per il teorema di invarianza omotopica o se basta quello di caratterizzazione delle forme esatte. Comunque hai ragione
"Giuly19":
basta quello di caratterizzazione delle forme esatte.
basta questo
e il salto di $2 \pi$ da dove lo deduco?
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