Forme differenziali esatte

[anto.tesone1]

salve come da titolo ho un dubbio sulle forme differenziali.
il testo dell esercizio chiede :
Dire se la forma differenziale lineare è esatta nel proprio dominio ed eventualmente calcolarne le primitive.
$ [ ln(x^2+y^2) + (2x^2)/(x^2+y^2)]dx + (2xy)/(x^2+y^2)dy $

il campo di esistenza della forma differenziale è $ R^2 - (0,0) $
una volta verificata che è chiusa (lo è) non posso dire che è esatta perché il campo di esistenza non è semplicemente connesso ne stellato , quindi la chiusura non implica l' esattezza.

dato che una forma differenziale w definita in un aperto di R2 Si dice che esatta se esiste una funzione f tale che df = dw

a questo punto va bene trovare una primitiva della forma differenziale? perchè integrando $ (2xy)/(x^2+y^2)dy $ dopo di che derivando rispetto a x trovo che una primitiva della forma differenziale è : $ f(x,y)= xln(x^2+y^2) + k $
il cui dominio è $ R^2 - (0,0) $

aver trovato la primitiva mi basta per dire che è esatta?
se si perchè l' esercizio chiede di verificare che sia esatta e poi calcolare la primitiva quando in realta la verifica coincide con la ricerca della primitiva?

grazie mille.

[dissonance]

Trovare una primitiva è MOLTO di più che dimostrare che la forma differenziale è esatta. In questo caso sei riuscito a prendere due piccioni con una fava, ma molto più spesso è difficile calcolare una primitiva mentre è relativamente semplice stabilire se una forma differenziale è esatta o meno.

[anto.tesone1]

Grazie mille

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