Forme differenziali esatte

[monica_n]

Ciao a tutti!!
Ho un problema con il seguente esercizio sulle forme differenziali esatte:

"Determinare $ varphi (x,y) $ (a meno di una funzione della sola variabile y) in modo da avere una forma differenziale esatta in entrambi i seguenti casi
$ x^2y dx+varphi (x,y)dy; $ $ sin ydx+varphi (x,y)dy $ "

In generale so come verificare per quale valore di $ varphi $ la prima è una forma esatta, e anche la seconda, ma separatamente. Qualcuno potrebbe illuminarmi ?

Graziee

[Gi81]

Risolvi pure separatamente.
Qual è la soluzione per la prima?
Qual è la soluzione per la seconda?

[monica_n]

"Gi8":Risolvi pure separatamente.
Qual è la soluzione per la prima?
Qual è la soluzione per la seconda?

Data la forma differenziale $ x^2y dx + varphi (x,y) $, sia $ alpha (x,y)= x^2y $.
Cerchiamo una primitiva di $ alpha (x,y) $ ovvero:
$ int_()^() x^2y dx =(x^3y)/3+c(y) $
Allora chiamiamo la nostra soluzione $ g(x,y)=(x^3y)/3+c(y) $. Affinché la forma sia esatta deve risultare $ (partial g(x,y))/(partial y)= varphi (x,y) $ a meno di una costante che dipende dalla sola varibile y, perciò nel nostro caso avremo che
$ varphi (x,y)=x^3/3+c'(y) $ (tenendo presente che $ (partialg)/(partial y) (x,y)=x^3/3+c'(y) $ )

Procedendo allo stesso modo per la seconda forma differenziale si ottiene $ varphi (x,y)=xcos y+h'(y) $

Giusto? Ora come procedo?

[Gi81]

Da questo si ottiene subito che non può esistere una funzione $varphi$ che verifichi le condizioni del problema.

[monica_n]

Perché non c'ho pensato?! Mentre lo svolgevo (durante l'esame) continuavo a ripetere "ma è impossibile, come può essere?"
Praticamente bastava solo scriverlo Grazie mille!!!