Forme differenziali e volume di un solido
Vorrei farvi vedere due esercizi, credo anche semplici.
1) Se ho la forma differenziale $w = 1/y e^(x/y)\ dx - x/y^2 e^(x/y) dy$
facendo le derivate incrociate si può vedere facilmente che la forma è chiusa, infatti risultano essere:
$-1/y^2 e^(x/y) + 1/y e^(x/y) (- x/y^2)$
Volevo chiedervi il dominio è ${(x,y) \in R^2 : (y) \ne 0}$ questo non è connesso e quindi neanche semplicemente connesso? mentre l'insieme ${(x,y) \in R^2 : (y) >= 0}$ è semplicemente connesso? Quindi qui la forma è esatta? Potrei trovarne una primitiva:
$U = e^(x/y) + C$
2) Sia $V = {(x,y,z) \in R^3: x^2 + y^2 + z^2 <= 4; x^2 + y^2 <= z^2; 0<= z <= 1}$ Calcolare il volume
$\int \int \int \rho^2 \sin \phi d\rho\ \d \phi\ d \theta$
con $0<=\rho<= min {2, 1/\cos \phi}$ sapendo che $\theta \in [0,2\pi]$ e $\phi \in [0.\pi/4]$
Mi chiedo allora quando $1/\cos \phi$ è minore di $2$ la risposta che ho trovato è quando $\cos \phi > 1/2$ cioè quando $\phi \in [0, \pi/3]$ quindi siccome so che al massimo $\phi$ oscilla tra 0 e $\pi/4$ posso concludere che in questo intervallo $1/\cos \phi$ è sempre minore di $2$?
Il volume è: $2/3 \pi \int_0^(\pi/4) sin \phi / (\cos^3 \phi) d \phi = \pi/3$ ?
Grazie mlle
1) Se ho la forma differenziale $w = 1/y e^(x/y)\ dx - x/y^2 e^(x/y) dy$
facendo le derivate incrociate si può vedere facilmente che la forma è chiusa, infatti risultano essere:
$-1/y^2 e^(x/y) + 1/y e^(x/y) (- x/y^2)$
Volevo chiedervi il dominio è ${(x,y) \in R^2 : (y) \ne 0}$ questo non è connesso e quindi neanche semplicemente connesso? mentre l'insieme ${(x,y) \in R^2 : (y) >= 0}$ è semplicemente connesso? Quindi qui la forma è esatta? Potrei trovarne una primitiva:
$U = e^(x/y) + C$
2) Sia $V = {(x,y,z) \in R^3: x^2 + y^2 + z^2 <= 4; x^2 + y^2 <= z^2; 0<= z <= 1}$ Calcolare il volume
$\int \int \int \rho^2 \sin \phi d\rho\ \d \phi\ d \theta$
con $0<=\rho<= min {2, 1/\cos \phi}$ sapendo che $\theta \in [0,2\pi]$ e $\phi \in [0.\pi/4]$
Mi chiedo allora quando $1/\cos \phi$ è minore di $2$ la risposta che ho trovato è quando $\cos \phi > 1/2$ cioè quando $\phi \in [0, \pi/3]$ quindi siccome so che al massimo $\phi$ oscilla tra 0 e $\pi/4$ posso concludere che in questo intervallo $1/\cos \phi$ è sempre minore di $2$?
Il volume è: $2/3 \pi \int_0^(\pi/4) sin \phi / (\cos^3 \phi) d \phi = \pi/3$ ?
Grazie mlle
Risposte
Gentilissimo e grazie mille! Si è molto simile però qui risolvendolo nel modo in cui sono abituato, ho un dubbio in più che mi piacerebbe risolvere 
up
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo