Forme Differenziali - Domande esplicative

[alex_28]

Buonasera a tutti
Mi ritrovo a studiare le forme differenziali, ed agganciandomi alla seguente forma differenziale svolta oggi, vorrei chiedere la delucidazione di alcuni dubbi;

La forma differenziale è la seguente:

-2y/(2x^2 + y^2) dx + 2x/(2x^2 + y^2)dy
Dunque, come primo passo, individuo il dominio della forma differenziale:
2x^2 + y^2 <> 0 ==> Radical(2) |x| <> |y|; si ha una spaccatura del piano in due; Dominio semplicemente connesso;

Utilizzando la condizione di chiusura, vedo che le derivate incrociate non coincidono, quindi asserisco che la forma non è chiusa;

Quando mi capita che la forma non è chiusa, posso asserire che automaticamente non è esatta (quindi vi è l' impossibilità di calcorarne anche una primitiva), giusto? L' esercizio termina qui?

Quali altri casi esistono, "mescolando" 'chiusura' , 'esattezza' e 'dominio semplicemente connesso o meno' ?


Grazie 1000 in anticipo

[alex_28]

Grazie Mille!
P.S. , per il dominio di una funzione fratta in una forma differenziale quindi, in generale, ragiono esplicitando quali sono le coordinate di punti che farebbero annullare il denominatore (ovviamente 0,0 , in questo caso) , giusto?

[alex_28]

Perfetto *-*
Quindi, applicando il ragionamento consueto, per la seguente forma differenziale il dominio è:
1/x dx + y/(x^2 + y^2) dy ; Dominio → x<>0 & x,y <> (0,0) ; In definitiva (essendo il calcolo di un dominio, una intersezione), Dominio : x<>0 -> La forma è definita nei due semipiani x>0 - x<0 → Dominio Semplicemente Connesso;

Forma differenziale_2: 2x/(x^2 + y)dx + 1/(x^2 + y)dy
Dominio: x^2 + y <> 0 → E' sempre (x,y) <> (0,0) , giusto? :S

[alex_28]

Ok
Scusa, come mai, D pur essendo l' unione di due domini semplicemente connessi, non è in sè un dominio semplicemente connesso? Non ho capito bene la questione :S
Grazie ancora di tutto

[alex_28]

Perfetto, Grazieee