Forme differenziali

[MILITO1991]

Ho un dubbio sulle forme differenziali.Per dimostrare che una forma differenziale è esatta mi basta provare che questa è chiusa ed è definita in un aperto connesso? Se la forma fosse chiusa ma non definita in un aperto connesso? se ho un dominio in $R^2$ ad esempio $x!=0$ non sarebbe un aperto connesso vero?? Grazie.

[ciampax]

Semplicemente connesso, non connesso!

[MILITO1991]

maccheronicamente parlando la differenza fra connesso e semplicemente connesso è che un connesso può avere anche dei "buchi" vero?

[amivaleo]

maccheronicamente parlando si.
matematicamente parlando:
- "semplicemente connesso": se ogni curva chiusa con sostegno nell'insieme, è la frontiera di un secondo insieme tutto contenuto nel primo.
se l'insieme è "bucato", puoi prendere una curva che sia il "bordo" del buco e questa NON è frontiera di un insiemino contenuto nel primo. (in questi ragionamenti, mi sta venendo voglia di una ciambella :Q__ perchè si, sto pensando ad una ciambella ora che parlo di insiemi semplicemente connessi ).
ad un altro corso di matematica, ci hanno dato una definizione più intuitiva utilizzando il concetto di "omotopia": un insieme è s. connesso se ogni curva chiusa con sostegno al suo interno è "omotopa" ad un punto. cioè può essere deformata con continuità fino a divenire un punto.
- "connesso": se NON può essere scisso in (almeno) due insiemi disgiunti, cioè due insiemi aperti che non hanno elementi in comune.

almeno così io so