Forme differenziali
salve a tutti, ho qualche problema con questo tipo di esercizi e spero che qualcuno di voi mi sappia dare una mano.
Sia data la forma differenziale
$\omega=x^2" d"x +xy" d"y$
e la curva $\gamma=(t^2;t),\ t\in [-1,1]$
calcolare $\int_\gamma \omega $
ho cominciato a svolgerlo vedendo se la forma diff. era esatta facendo la derivata di $x^2$ rispetto a $y$ e quella di $xy$ rispetto ad $x$ e non sono ugiali, quindi non esatta.
a questo punto come dovrei procedere? non posso andare a sostituire i parametri di $\gamma$ e impostare l'integrale da $-1$ a $1$ ?
grazie
Sia data la forma differenziale
$\omega=x^2" d"x +xy" d"y$
e la curva $\gamma=(t^2;t),\ t\in [-1,1]$
calcolare $\int_\gamma \omega $
ho cominciato a svolgerlo vedendo se la forma diff. era esatta facendo la derivata di $x^2$ rispetto a $y$ e quella di $xy$ rispetto ad $x$ e non sono ugiali, quindi non esatta.
a questo punto come dovrei procedere? non posso andare a sostituire i parametri di $\gamma$ e impostare l'integrale da $-1$ a $1$ ?
grazie
Risposte
Non "puoi", ma devi.
Usare la definizione è il modo migliore per svolgere l'esercizio.
Usare la definizione è il modo migliore per svolgere l'esercizio.
cioè tutto quello che devo fare non è altro che :
$\int_{-1}^{1} ((t^2)^2 2t + t^2 t) dt$
ma poi il risultato è 0.
ho sbagliato qualcosa? riporto passaggio per passaggio:
$\int_{-1}^{1} ((t^2)^2 2t + t^2 t) dt$
$\int_{-1}^{1} ((2t^5) + t^3) dt$
2$\int_{-1}^{1} t^5 t$ + $\int_{-1}^{1} t^3 dt$
in fine $2[(t^6)/6]_ {-1}^{1}$ + $[(t^4)/4]_ {-1}^{1}$ =0
$\int_{-1}^{1} ((t^2)^2 2t + t^2 t) dt$
ma poi il risultato è 0.
ho sbagliato qualcosa? riporto passaggio per passaggio:
$\int_{-1}^{1} ((t^2)^2 2t + t^2 t) dt$
$\int_{-1}^{1} ((2t^5) + t^3) dt$
2$\int_{-1}^{1} t^5 t$ + $\int_{-1}^{1} t^3 dt$
in fine $2[(t^6)/6]_ {-1}^{1}$ + $[(t^4)/4]_ {-1}^{1}$ =0
raga x favore mi potete rispondere? ho questo dubbio e venerdi' ho l'esameeeeeeeeeeeeeeeeeeeee 
:S grazie 
:S grazie
C'era proprio bisogno di fare tutti i conti per quell'ultimo integrale? Guarda bene la funzione integranda. Di quali simmetrie gode?
ti riferisci al fatto che posso suddividerlo in 2 integrali con estremi da 0 a 1?
No. La domanda era un'altra.
Rifletti bene prima di chiedere ulteriori lumi.
Di quali simmetrie gode la funzione integranda?
Rifletti bene prima di chiedere ulteriori lumi.
la funzione integranda sarebbe $ t^4 2t + t^2 t$ e cioè $2t^5 + t^3$ ed è simmetrica rispetto all'asse y=0 cioè l'asse delle x. è questo che vuoi dirmi? scusa l'ignoranza 
Non hai mai riflettuto sulle funzioni "pari" e sulle funzioni "dispari"? Se la risposta è "no", fallo adesso.
la funzione integranda è dispari... e l'integrale di una funzione dispari è 0... giusto? grazie mille x l'aiuto... a volte sono proprio ottuso ...e voi siete grandi
E ma ancora è detto male. L'integrale di una funzione dispari su un intervallo simmetrico attorno a $0$, come ad esempio $[-1, 1]$, è nullo. Attenzione che se l'intervallo non è simmetrico non vale mica. Prendi per esempio $int_0^1x dx$.
si si ok...questo l'avevo capito grazie mille
grazie mille
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