Forme differenziali

[lepre561]

Calcolare l'integrale della forma differenziale $w=xcos(x^2+y^2)dx+ycos(x^2+y^2)dy$ lungo la curva $x^2+(y^2/4)=1$


allora come procediamento calcolerei le derivate per vedere se è esatta

$Xy=-2xysin(x^2+y^2)$ e $Yx=-2xysin(x^2+y^2)$

siccome la forma è esatta e la mia curva è un ellisse quindi curva chiusa allora posso dire che l'integrale è zero?

[Mephlip]

Non basta, quello che hai dimostrato controllando le derivate è che la forma differenziale è chiusa; ciò è una condizione necessaria ma non sufficiente per garantire l'esattezza della forma, ma essa diventa condizione sufficiente se l'insieme di definizione della forma è semplicemente connesso (o stellato).

[feddy]

Alt, tu hai verificato che la forma è chiusa. Poiché l'ellisse è semplicemente connessa, allora la forma è ivi esatta e dunque l'integrale lungo un circuito chiuso è nullo

[dissonance]

"feddy": l'ellisse è semplicemente connessa

l'ellisse piena è semplicemente connessa, non la curva. per non confonderci

[anto_zoolander]

comunque si vede a occhio che quella cosa è il differenziale di $U(x,y)=1/2sin(x^2+y^2)$

[lepre561]

sisi scusatemi non ho specificato ho sbagliato ad esprimermi

[feddy]

grazie @dissonance, non mi ero riletto !