Forme differenziali
Salve ragazzi, scrivo perchè facendo degli esercizi sullo studio delle forme differenziali mi è venuto il dubbio che sbagliassi ragionamento. Ora vi spiego meglio 
Allora, quando faccio lo studio per prima cosa trovo l'insieme di definizione, dopo di che vedo se la forma è chiusa. Se la forma è chiusa e l'insieme su cui è definita è un aperto semplicemente connesso posso affermare che essa è anche esatta.
Il dubbio sorge quando l'insieme non è un aperto semplicemente connesso e devo dimostrare praticamente se la forma differenziale è esatta.
Io ero solita vedere se esisteva una primitiva della forma differenziale, ma poi ho notato che nelle dispense della professoressa il calcolo della primitiva e la dimostrazione dell'esattezza sono due punti diversi, quindi avevo pensato che avrei dovuto utilizzare il teorema che afferma che:
la forma differenziale è esatta in A se per ogni curva chiusa contenuta in A la circuitazione è nulla.
In conclusione volevo chiedervi:
1)per affermare che una forma differenziale è esatta basta trovare una primitiva?
2) se no, come faccio a calcolare che la circuitazione è nulla per ogni curva?
Grazie a tutti
Allora, quando faccio lo studio per prima cosa trovo l'insieme di definizione, dopo di che vedo se la forma è chiusa. Se la forma è chiusa e l'insieme su cui è definita è un aperto semplicemente connesso posso affermare che essa è anche esatta.
Il dubbio sorge quando l'insieme non è un aperto semplicemente connesso e devo dimostrare praticamente se la forma differenziale è esatta.
Io ero solita vedere se esisteva una primitiva della forma differenziale, ma poi ho notato che nelle dispense della professoressa il calcolo della primitiva e la dimostrazione dell'esattezza sono due punti diversi, quindi avevo pensato che avrei dovuto utilizzare il teorema che afferma che:
la forma differenziale è esatta in A se per ogni curva chiusa contenuta in A la circuitazione è nulla.
In conclusione volevo chiedervi:
1)per affermare che una forma differenziale è esatta basta trovare una primitiva?
2) se no, come faccio a calcolare che la circuitazione è nulla per ogni curva?
Grazie a tutti
Risposte
La definizione di forma esatta è una sola: una forma differenziale si dice esatta se è il differenziale di un campo scalare.
Quindi se riesci a trovare un campo scalare che verifica questa proprietà allora hai finito.
Si, in base alla definizione
Esiste un teorema che afferma che l'integrale di una forma differenziale su curve omotope è invariante, pertanto se il tuo dominio contiene un "buco", quindi non è semplicemente connesso, allora invece di calcolare la circuitazione di ogni curva che circonda quel buco (cosa ovviamente impossibile dato che le curve sono infinite), basta calcolare la circuitazione di una sola qualunque curva che circonda quel buco, e grazie a quel teorema tute le altre curve avranno la stessa circuitazione, ma è un teorema che di solito non viene trattato nei corsi di analisi 2
Quindi se riesci a trovare un campo scalare che verifica questa proprietà allora hai finito.
per affermare che una forma differenziale è esatta basta trovare una primitiva?
Si, in base alla definizione
se no, come faccio a calcolare che la circuitazione è nulla per ogni curva?
Esiste un teorema che afferma che l'integrale di una forma differenziale su curve omotope è invariante, pertanto se il tuo dominio contiene un "buco", quindi non è semplicemente connesso, allora invece di calcolare la circuitazione di ogni curva che circonda quel buco (cosa ovviamente impossibile dato che le curve sono infinite), basta calcolare la circuitazione di una sola qualunque curva che circonda quel buco, e grazie a quel teorema tute le altre curve avranno la stessa circuitazione, ma è un teorema che di solito non viene trattato nei corsi di analisi 2
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