Forme differenziali
Non riesco a capire cos'è una forma differenziale, e mi è anche difficile capire la simbologia usata.
Questa è la definizione riportata sul mio libro:
Una forma differenziale $ omega $ su $ Omega $ è una applicazione $ omega:Omega-> L(RR^n,RR) $ che ad ogni $ x in Omega $, associa una applicazione lineare $ omega(x):RR^n->RR $. Forme differenziali e campi sono in corrispondenza biunivoca tramite la relazione $ omega(x)(h)=F(x)*h , AAh inRR^n $.
Il libro dice che $ omega(x) $ è il lavoro elementare, ma sinceramente dalla definizione riesco non riesco a vederlo. Inoltre qual è lo spazio di arrivo della funzione $ omega $, che significa $ L(RR^n,RR) $ C'è un'interpretazione o un altro modo di scrivere $ omega(x)(h) $ ?
Grazie mille.
Questa è la definizione riportata sul mio libro:
Una forma differenziale $ omega $ su $ Omega $ è una applicazione $ omega:Omega-> L(RR^n,RR) $ che ad ogni $ x in Omega $, associa una applicazione lineare $ omega(x):RR^n->RR $. Forme differenziali e campi sono in corrispondenza biunivoca tramite la relazione $ omega(x)(h)=F(x)*h , AAh inRR^n $.
Il libro dice che $ omega(x) $ è il lavoro elementare, ma sinceramente dalla definizione riesco non riesco a vederlo. Inoltre qual è lo spazio di arrivo della funzione $ omega $, che significa $ L(RR^n,RR) $ C'è un'interpretazione o un altro modo di scrivere $ omega(x)(h) $ ?
Grazie mille.
Risposte
Una forma differenziale lineare è una funzione che ad ogni punto del dominio associa una particolare applicazione lineare. Ecco perchè il codominio è \(L(\mathbb{R}^n,\mathbb{R})\), che è lo spazio di tutte le applicazioni lineari \(f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\).
Ora devo scappare, se ho tempo arricchisco la risposta
Ora devo scappare, se ho tempo arricchisco la risposta
Non riesco a capire molto bene cosa sia lo spazio di tutte le applicazioni lineari. Quando puoi potresti spiegarmi meglio? Grazie
Prendi due spazi vettoriali \(\mathbf{V}\) e \(\mathbf{W}\) e considera le applicazioni lineari \(\mathbf{V} \to \mathbf{W}\). Indichi l'insieme di queste applicazioni lineari con \(L(\mathbf{V},\mathbf{W})\). Questo non è ovviamente un insieme numerico, i suoi elementi non sono numeri ma bensì funzioni. Si dimostra poi che \(L(\mathbf{V},\mathbf{W})\) è a sua volta uno spazio vettoriale.
Per fare un esempio banale, consideriamo le applicazioni \(\mathbb{R} \to \mathbb{R}\) che sono lineari. Saranno tutte quelle della forma \(x \mapsto \alpha x\), o, più amichevolmente, \(f(x) = \alpha x\) con \(\alpha\) scalare. Al variare di \(\alpha\) ottieni infinite applicazioni lineari \(\mathbb{R} \to \mathbb{R}\). Tale spazio lo indichi con \(L(\mathbb{R},\mathbb{R})\). In questo spazio ci saranno ad esempio le funzioni \(f(x) = 3x, \ f(x) = 109x\) .
Ci sei?
Ora una forma differenziale lineare \(\omega: \Omega \to L(\mathbb{R}^n,\mathbb{R})\) associa ad ogni elemento di \(\Omega\) una funzione lineare \( \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\), ovvero un elemento di \(L(\mathbb{R}^n,\mathbb{R})\).
Ti è più chiaro? Se sì proseguiamo, altrimenti provo a rispiegarmi
Per fare un esempio banale, consideriamo le applicazioni \(\mathbb{R} \to \mathbb{R}\) che sono lineari. Saranno tutte quelle della forma \(x \mapsto \alpha x\), o, più amichevolmente, \(f(x) = \alpha x\) con \(\alpha\) scalare. Al variare di \(\alpha\) ottieni infinite applicazioni lineari \(\mathbb{R} \to \mathbb{R}\). Tale spazio lo indichi con \(L(\mathbb{R},\mathbb{R})\). In questo spazio ci saranno ad esempio le funzioni \(f(x) = 3x, \ f(x) = 109x\) .
Ci sei?
Ora una forma differenziale lineare \(\omega: \Omega \to L(\mathbb{R}^n,\mathbb{R})\) associa ad ogni elemento di \(\Omega\) una funzione lineare \( \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\), ovvero un elemento di \(L(\mathbb{R}^n,\mathbb{R})\).
Ti è più chiaro? Se sì proseguiamo, altrimenti provo a rispiegarmi
Si per ora molto chiaro. Bella spiegazione.
Ok, andiamo avanti.
Una forma differenziale lineare associa ad ogni punto del dominio \(x \in \Omega\) un'applicazione lineare \(\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\). Questo tipo di applicazioni lineari sono speciali e vengono chiamate funzionali lineari o forme lineari. In generale dato uno spazio vettoriale \(\mathbf{V}\) sul campo \(\mathbf{K}\), le applicazioni lineari \(\mathbf{V} \to \mathbf{K}\) sono dette funzionali o forme lineari. Lo spazio di tutti i funzionali lineari \(\mathbf{V} \to \mathbf{K}\), ovvero \(L(\mathbf{V},\mathbf{K})\) si chiama spazio duale e si indica più concisamente con \(\mathbf{V}^*\). Usiamo questa notazione perché è più concisa.
Possiamo quindi riformulare quindi la definizione in questi termini:
In pratica, così come un campo vettoriale ad ogni punto del dominio associa un vettore, così una forma differenziale lineare associa ad ogni punto un funzionale.
Cosa possiamo dire dei funzionali lineari? Beh, ad ogni vettore di \(\mathbb{R}^n\) associano un numero reale, si possono dunque esprimere in questa forma: \(\mathbf{h} \mapsto \langle \mathbf{a},\mathbf{h}\rangle\) dove \(\mathbf{a} \in \mathbb{R}^n\).
In pratica per identificare un funzionale lineare è sufficiente identificare il vettore \(\mathbf{a}\) che lo rappresenta. Se ci concentriamo solo sul vettore che rappresenta un funzionale lineare è chiaro che vi è una stretta relazione tra forme differenziali lineare e campi vettoriali.
Tant'è, come riportavi tu, che si può esprimere una forma differenziale attraverso un campo vettoriale \(\mathbf{f(x)}\) tramite il prodotto scalare. Infatti, fissando \(\mathbf{x}\) si può definire il seguente funzionale lineare: \( \mathbf{h} \mapsto \langle\mathbf{f(x)}, \mathbf{h} \rangle\). Ad ogni \(\mathbf{x} \in \Omega\) possiamo quindi associare il funzionare lineare definito da \(l(\mathbf{h}) = \langle\mathbf{f(x)}, \mathbf{h} \rangle\) ottenendo una funzione da \(\Omega \to \mathbf{V}^*\), che è proprio una forma differenziale lineare!
Riassumendo puoi vedere una forma differenziale lineare come un campo di funzionali lineari.
Inoltre, per fissare le idee si può pensare ad una classe speciale di forme differenziali lineari, i differenziali (o forme esatte).
Mettiamoci nel caso di una funzione \(f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}, \ \ x \mapsto f(x)\). Possiamo calcolare la derivata \(f':\mathbb{R} \to \mathbb{R}, \ \ x \mapsto f'(x)\). Fissiamo ora un punto \(x\). La derivata in questo punto sarà un numero \(f'(x)\). Chiamiamo differenziale di \(f\) nel punto \(x\) il funzionale lineare \(df_x: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \ \ h \mapsto f'(x)h\). Se ora facciamo variare \(x\) otteniamo una forma differenziale lineare \(df: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \ \ x \mapsto df_x\), o che possiamo più informalmente scrivere \(df(x)(h) = f'(x)h\) o anche \(df(x;h) = f'(x)h\).
Queste diverse scritture servono a ricordare che non si tratta di una funzione di due variabili, ma bensì, detta in maniera brusca, "prima si fissa \(x\) e poi \(h\)".
Il caso \(\mathbb{R} \to \mathbb{R}\) è semplice perché \(\mathbb{R}^* = L(\mathbb{R},\mathbb{R})\) e quindi otteniamo sempre funzioni \(\mathbb{R} \to \mathbb{R}\).
Se ci mettiamo nel caso \(\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\) otteniamo \(df_\mathbf{x}: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \ \ \mathbf{h} \mapsto \langle \nabla f(\mathbf{x}), \mathbf{h} \rangle\) e la forma differenziale lineare \(df:\mathbb{R}^n \to (\mathbb{R}^n)^*\) ovvero \(df(\mathbf{x};\mathbf{h}) = \langle \nabla f(\mathbf{x}), \mathbf{h} \rangle\).
I differenziali sono particolari forme differenziali dette esatte o integrabili.
Spero di esserti stato d'aiuto. Questi argomenti hanno occupato il mio interesse per molto tempo è faccimo fatica a tenere a freno le mani sulla tastiera
Una forma differenziale lineare associa ad ogni punto del dominio \(x \in \Omega\) un'applicazione lineare \(\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\). Questo tipo di applicazioni lineari sono speciali e vengono chiamate funzionali lineari o forme lineari. In generale dato uno spazio vettoriale \(\mathbf{V}\) sul campo \(\mathbf{K}\), le applicazioni lineari \(\mathbf{V} \to \mathbf{K}\) sono dette funzionali o forme lineari. Lo spazio di tutti i funzionali lineari \(\mathbf{V} \to \mathbf{K}\), ovvero \(L(\mathbf{V},\mathbf{K})\) si chiama spazio duale e si indica più concisamente con \(\mathbf{V}^*\). Usiamo questa notazione perché è più concisa.
Possiamo quindi riformulare quindi la definizione in questi termini:
Si dice forma differenziale lineare una funzione su \(\Omega\) una funzione \(\Omega \to (\mathbb{R}^n)^* = L(\mathbb{R}^n,\mathbb{R})\). Ovvero una funzione che ad ogni punto del dominio associa un funzionale lineare su \(\mathbb{R}^n\)
In pratica, così come un campo vettoriale ad ogni punto del dominio associa un vettore, così una forma differenziale lineare associa ad ogni punto un funzionale.
Cosa possiamo dire dei funzionali lineari? Beh, ad ogni vettore di \(\mathbb{R}^n\) associano un numero reale, si possono dunque esprimere in questa forma: \(\mathbf{h} \mapsto \langle \mathbf{a},\mathbf{h}\rangle\) dove \(\mathbf{a} \in \mathbb{R}^n\).
In pratica per identificare un funzionale lineare è sufficiente identificare il vettore \(\mathbf{a}\) che lo rappresenta. Se ci concentriamo solo sul vettore che rappresenta un funzionale lineare è chiaro che vi è una stretta relazione tra forme differenziali lineare e campi vettoriali.
Tant'è, come riportavi tu, che si può esprimere una forma differenziale attraverso un campo vettoriale \(\mathbf{f(x)}\) tramite il prodotto scalare. Infatti, fissando \(\mathbf{x}\) si può definire il seguente funzionale lineare: \( \mathbf{h} \mapsto \langle\mathbf{f(x)}, \mathbf{h} \rangle\). Ad ogni \(\mathbf{x} \in \Omega\) possiamo quindi associare il funzionare lineare definito da \(l(\mathbf{h}) = \langle\mathbf{f(x)}, \mathbf{h} \rangle\) ottenendo una funzione da \(\Omega \to \mathbf{V}^*\), che è proprio una forma differenziale lineare!
Riassumendo puoi vedere una forma differenziale lineare come un campo di funzionali lineari.
Inoltre, per fissare le idee si può pensare ad una classe speciale di forme differenziali lineari, i differenziali (o forme esatte).
Mettiamoci nel caso di una funzione \(f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}, \ \ x \mapsto f(x)\). Possiamo calcolare la derivata \(f':\mathbb{R} \to \mathbb{R}, \ \ x \mapsto f'(x)\). Fissiamo ora un punto \(x\). La derivata in questo punto sarà un numero \(f'(x)\). Chiamiamo differenziale di \(f\) nel punto \(x\) il funzionale lineare \(df_x: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \ \ h \mapsto f'(x)h\). Se ora facciamo variare \(x\) otteniamo una forma differenziale lineare \(df: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \ \ x \mapsto df_x\), o che possiamo più informalmente scrivere \(df(x)(h) = f'(x)h\) o anche \(df(x;h) = f'(x)h\).
Queste diverse scritture servono a ricordare che non si tratta di una funzione di due variabili, ma bensì, detta in maniera brusca, "prima si fissa \(x\) e poi \(h\)".
Il caso \(\mathbb{R} \to \mathbb{R}\) è semplice perché \(\mathbb{R}^* = L(\mathbb{R},\mathbb{R})\) e quindi otteniamo sempre funzioni \(\mathbb{R} \to \mathbb{R}\).
Se ci mettiamo nel caso \(\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\) otteniamo \(df_\mathbf{x}: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \ \ \mathbf{h} \mapsto \langle \nabla f(\mathbf{x}), \mathbf{h} \rangle\) e la forma differenziale lineare \(df:\mathbb{R}^n \to (\mathbb{R}^n)^*\) ovvero \(df(\mathbf{x};\mathbf{h}) = \langle \nabla f(\mathbf{x}), \mathbf{h} \rangle\).
I differenziali sono particolari forme differenziali dette esatte o integrabili.
Spero di esserti stato d'aiuto. Questi argomenti hanno occupato il mio interesse per molto tempo è faccimo fatica a tenere a freno le mani sulla tastiera
Aggiungo due chiacchiere sulla notazione 
Come diceva Emar, lo spazio duale di $V$ è a sua volta spazio vettoriale rispetto alle solite operazioni[nota]tra funzioni reali. Se $f,g\in V^\star$ e $\alpha\in RR$, i funzionali $f+g,\ \alpha f:V\to RR$ sono definiti da
\[\forall v\in V,\qquad (f+g)(v):=f(v)+g(v)\qquad (\alpha f)(v):=\alpha f(v) \][/nota]. Si dimostra che ogni spazio $V$ è isomorfo[nota]Fissata una base $\mathcal{B}:=\{v_1,...,v_n\}$ di $V$, si considerano gli $n$ funzionali $v^1,...,v^n: V\to RR$ definiti dalle relazioni
\[\forall i,j=1,\dots, n\qquad v^i(v_j)=\delta^i_j\]
dove $\delta_j^i$ è la delta di Kronecker. Si trova che $\mathcal{B}^star:=\{v^1,...,v^n\}$ è una base di $V^\star$, e la si dice base duale di $\mathcal{B}$. A questo punto resta indotto un isomorfismo $\Phi_{\mathcal{B}} :V\to V^\star$, l'unico che trasforma $\mathcal{B}$ in $\mathcal{B}^\star$.[/nota] al suo duale: di conseguenza, $V$ e $V^star$ hanno la stessa dimensione.
Scendiamo nel particolare: $V=RR^n$. In quanto spazio vettoriale di dimensione $n$, $(RR^n)^\star=\mathcal{L}(RR^n,RR)$ ha diritto a delle basi. Una particolare tra queste è quella costituita dagli $n$ funzionali $"d"x_1,...,"d"x_n:RR^n\to RR$ così definiti:[nota]$\{"d"x_1,...,"d"x_n\}$ non è altro che la base duale della base canonica di $RR^n$: infatti $e^i:="d"x_i=\langle e_i, \cdot \rangle$ e si ha $e^i(e_j)=\langle e_i,e_j \rangle=\delta_j^i$.[/nota]
\[\forall i=1,\dots, n,\ \forall x=(x_1,\dots,x_n)\in \mathbb{R}^n,\qquad \text{d}x_i(x):=x_i=\langle e_i,x\rangle\]
cioè $"d"x_i(x)$ è la proiezione di $x$ sull'$i$-esimo asse coordinato. In breve, la notazione usata per indicare le funzioni proiezioni è comoda: il loro differenziale coincide in ogni punto con la funzione stessa (infatti $\nabla "d"x_i(x)$ vale costantemente $e_i$). In questo modo puoi scrivere, per ogni funzione differenziabile $f$,
\[\text{d} f(x)=\langle\nabla f(x), \cdot\ \rangle=\langle \sum_{k=1}^n\dfrac{\partial f}{\partial x_i}(x)e_i,\cdot\ \rangle=\sum_{k=1}^n\dfrac{\partial f}{\partial x_i}(x)\langle e_i,\cdot\ \rangle =\sum_{k=1}^n\dfrac{\partial f}{\partial x_i}(x)\, \text{d}x_i \]
Una forma differenziale (lineare) è un'applicazione $\omega:A\subseteq RR^n\to \mathcal{L}(RR^n,RR)$, cioè $\omega$ associa ad ogni $x\in A$ un funzionale lineare $\omega(x)\in \mathcal{L}(RR^n,RR)$. Come ben ricorderai, ogni elemento di uno spazio vettoriale si scrive in modo unico come combinazione lineare di elementi di una base: pertanto, $\omega(x)$ sarà combinazione lineare dei funzionali $"d"x_i$, cioè esisteranno $n$ coefficienti $a_1(x),...,a_n(x)\in RR$ tali che[nota]Facendo variare $x$ restano determinate $n$ funzioni $a_i:A\to RR$.[/nota]
\[\omega(x)=a_1(x)\text{d}x_1+\cdots+a_n(x)\text{d}x_n\]
E' evidente ora che il differenziale di una funzione differenziabile è, come diceva Emar, una particolare forma differenziale. Ogni forma differenziale lineare è identificabile col campo vettoriale $a:=(a_1,...,a_n)$; se $\omega$ è il differenziale di una funzione, si ha $a=\nabla f$, vale a dire $a_i=(\partial f)/(\partial x_i)$.
Spero non mi siano scappate [size=50]minchiate[/size] per il sonno. Ciao!
EDIT: corretto errore di ortografia.
Come diceva Emar, lo spazio duale di $V$ è a sua volta spazio vettoriale rispetto alle solite operazioni[nota]tra funzioni reali. Se $f,g\in V^\star$ e $\alpha\in RR$, i funzionali $f+g,\ \alpha f:V\to RR$ sono definiti da
\[\forall v\in V,\qquad (f+g)(v):=f(v)+g(v)\qquad (\alpha f)(v):=\alpha f(v) \][/nota]. Si dimostra che ogni spazio $V$ è isomorfo[nota]Fissata una base $\mathcal{B}:=\{v_1,...,v_n\}$ di $V$, si considerano gli $n$ funzionali $v^1,...,v^n: V\to RR$ definiti dalle relazioni
\[\forall i,j=1,\dots, n\qquad v^i(v_j)=\delta^i_j\]
dove $\delta_j^i$ è la delta di Kronecker. Si trova che $\mathcal{B}^star:=\{v^1,...,v^n\}$ è una base di $V^\star$, e la si dice base duale di $\mathcal{B}$. A questo punto resta indotto un isomorfismo $\Phi_{\mathcal{B}} :V\to V^\star$, l'unico che trasforma $\mathcal{B}$ in $\mathcal{B}^\star$.[/nota] al suo duale: di conseguenza, $V$ e $V^star$ hanno la stessa dimensione.
Scendiamo nel particolare: $V=RR^n$. In quanto spazio vettoriale di dimensione $n$, $(RR^n)^\star=\mathcal{L}(RR^n,RR)$ ha diritto a delle basi. Una particolare tra queste è quella costituita dagli $n$ funzionali $"d"x_1,...,"d"x_n:RR^n\to RR$ così definiti:[nota]$\{"d"x_1,...,"d"x_n\}$ non è altro che la base duale della base canonica di $RR^n$: infatti $e^i:="d"x_i=\langle e_i, \cdot \rangle$ e si ha $e^i(e_j)=\langle e_i,e_j \rangle=\delta_j^i$.[/nota]
\[\forall i=1,\dots, n,\ \forall x=(x_1,\dots,x_n)\in \mathbb{R}^n,\qquad \text{d}x_i(x):=x_i=\langle e_i,x\rangle\]
cioè $"d"x_i(x)$ è la proiezione di $x$ sull'$i$-esimo asse coordinato. In breve, la notazione usata per indicare le funzioni proiezioni è comoda: il loro differenziale coincide in ogni punto con la funzione stessa (infatti $\nabla "d"x_i(x)$ vale costantemente $e_i$). In questo modo puoi scrivere, per ogni funzione differenziabile $f$,
\[\text{d} f(x)=\langle\nabla f(x), \cdot\ \rangle=\langle \sum_{k=1}^n\dfrac{\partial f}{\partial x_i}(x)e_i,\cdot\ \rangle=\sum_{k=1}^n\dfrac{\partial f}{\partial x_i}(x)\langle e_i,\cdot\ \rangle =\sum_{k=1}^n\dfrac{\partial f}{\partial x_i}(x)\, \text{d}x_i \]
Una forma differenziale (lineare) è un'applicazione $\omega:A\subseteq RR^n\to \mathcal{L}(RR^n,RR)$, cioè $\omega$ associa ad ogni $x\in A$ un funzionale lineare $\omega(x)\in \mathcal{L}(RR^n,RR)$. Come ben ricorderai, ogni elemento di uno spazio vettoriale si scrive in modo unico come combinazione lineare di elementi di una base: pertanto, $\omega(x)$ sarà combinazione lineare dei funzionali $"d"x_i$, cioè esisteranno $n$ coefficienti $a_1(x),...,a_n(x)\in RR$ tali che[nota]Facendo variare $x$ restano determinate $n$ funzioni $a_i:A\to RR$.[/nota]
\[\omega(x)=a_1(x)\text{d}x_1+\cdots+a_n(x)\text{d}x_n\]
E' evidente ora che il differenziale di una funzione differenziabile è, come diceva Emar, una particolare forma differenziale. Ogni forma differenziale lineare è identificabile col campo vettoriale $a:=(a_1,...,a_n)$; se $\omega$ è il differenziale di una funzione, si ha $a=\nabla f$, vale a dire $a_i=(\partial f)/(\partial x_i)$.
Spero non mi siano scappate [size=50]minchiate[/size] per il sonno. Ciao!
EDIT: corretto errore di ortografia.
Ben detto Plepp. Mi hai anticipato sul tema della terza puntata, ma è un bene perché non avrei saputo esprimermi meglio!
Aspettiamo Meetmat e vediamo se è riuscito a seguirci
Aspettiamo Meetmat e vediamo se è riuscito a seguirci
"Emar":
Ben detto Plepp. Mi hai anticipato sul tema della terza puntata, ma è un bene perché non avrei saputo esprimermi meglio!
Esagerato
Invece rileggendomi meno assonnato e meno rimbambito mi pare di essere stato un po' "eccessivo"...non è semplice (o almeno non lo è stato per me) appiccicare a questa roba un significato "concreto". Se qualcosa non dovesse quadrare provo a rispiegarmi meglio!
Intanto grazie mille a entrambi. Ancora non so dirvi se le cose mi tornano (di solito prima di assimilare dei concetti mi ci vuole del tempo ), comunque mi avete dato del materiale su cui riflettere. Purtroppo alcuni libri universitari (come il mio in questione) tendono a dare troppe cose per scontato e rischiano di diventare non più libri su cui studiare, ma libri su cui ripassare. In ogni caso se non mi tornerà qualcosa non esiterò a scrivervi. Grazie ancora
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